Calcolo Esempi

$\int \csc^{4} (\frac{x}{4}) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{x}{4}$ . Allora $d u = \frac{1}{4} d x$ , quindi $4 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{x}{4}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \csc^{4} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{4}$ .

$\int \csc^{4} (u) (1 \cdot 4) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\int \csc^{4} (u) \cdot 4 d u$

Passaggio 2.3

Sposta $4$ alla sinistra di $\csc^{4} (u)$ .

$\int 4 \csc^{4} (u) d u$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $u$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \csc^{4} (u) d u$

Passaggio 4

Applica la formula di riduzione.

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (u) d u)$

Passaggio 5

Poiché la derivata di $- \cot (u)$ è $\csc^{2} (u)$ , l'integrale di $\csc^{2} (u)$ è $- \cot (u)$ .

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$

Passaggio 6

Riscrivi $4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$ come $4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$ .

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}) + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica $4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3})$ .

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Passaggio 8.2.2

$- 4$ e $\frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica $4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3})$ .

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Passaggio 8.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} - 4 \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Passaggio 8.3.2

$- 4$ e $\frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 4 (2 \cot (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Passaggio 8.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Passaggio 8.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Passaggio 9

Riordina i termini.

$- \frac{4}{3} \cot (\frac{1}{4} x) \csc^{2} (\frac{1}{4} x) - \frac{8}{3} \cot (\frac{1}{4} x) + C$