Calcolo Esempi

$\int arccot (5 y) d y$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = arccot (5 y)$ e $d v = 1$ .

$arccot (5 y) y - \int y (- \frac{5}{1 + 25 y^{2}}) d y$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$y$ e $\frac{5}{1 + 25 y^{2}}$ .

$arccot (5 y) y - \int - \frac{y \cdot 5}{1 + 25 y^{2}} d y$

Passaggio 2.2

Sposta $5$ alla sinistra di $y$ .

$arccot (5 y) y - \int - \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$arccot (5 y) y - - \int \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$arccot (5 y) y + 1 \int \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\int \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$ per $1$ .

$arccot (5 y) y + \int \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Passaggio 5

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$arccot (5 y) y + 5 \int \frac{y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Passaggio 6

Sia $u = 1 + 25 y^{2}$ . Allora $d u = 50 y d y$ , quindi $\frac{1}{50} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = 1 + 25 y^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $1 + 25 y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 25 y^{2}]$

Passaggio 6.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 25 y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [25 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [25 y^{2}]$

Passaggio 6.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [25 y^{2}]$

Passaggio 6.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [25 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Poiché $25$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $25 y^{2}$ rispetto a $y$ è $25 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 25 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 6.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 25 (2 y)$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica $2$ per $25$ .

$0 + 50 y$

Passaggio 6.1.4

Somma $0$ e $50 y$ .

$50 y$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$arccot (5 y) y + 5 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{50} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{50}$ .

$arccot (5 y) y + 5 \int \frac{1}{u \cdot 50} d u$

Passaggio 7.2

Sposta $50$ alla sinistra di $u$ .

$arccot (5 y) y + 5 \int \frac{1}{50 u} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{50}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{50}$ fuori dall'integrale.

$arccot (5 y) y + 5 (\frac{1}{50} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{50}$ e $5$ .

$arccot (5 y) y + \frac{5}{50} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $5$ e $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$arccot (5 y) y + \frac{5 (1)}{50} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $5$ da $50$ .

$arccot (5 y) y + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$arccot (5 y) y + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 9.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$arccot (5 y) y + \frac{1}{10} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$arccot (5 y) y + \frac{1}{10} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$arccot (5 y) y + \frac{1}{10} \ln (| u |) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 25 y^{2}$ .

$arccot (5 y) y + \frac{1}{10} \ln (| 1 + 25 y^{2} |) + C$