Calcolo Esempi

$\int \frac{l}{n π} \cdot \cos (\frac{n π x}{l}) d x$

Passaggio 1

$\frac{l}{n π}$ e $\cos (\frac{n π x}{l})$ .

$\int \frac{l \cos (\frac{n π x}{l})}{n π} d x$

Passaggio 2

Poiché $\frac{l}{n π}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{l}{n π}$ fuori dall'integrale.

$\frac{l}{n π} \int \cos (\frac{n π x}{l}) d x$

Passaggio 3

Sia $u = \frac{n π x}{l}$ . Allora $d u = \frac{π n}{l} d x$ , quindi $\frac{l}{π n} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = \frac{n π x}{l}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $\frac{n π x}{l}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{n π x}{l}]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $\frac{n π}{l}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{n π x}{l}$ rispetto a $x$ è $\frac{n π}{l} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{n π}{l} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{n π}{l} \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1.4.1

Moltiplica $\frac{n π}{l}$ per $1$ .

$\frac{n π}{l}$

Passaggio 3.1.4.2

Riordina i termini.

$\frac{π n}{l}$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) \frac{1}{\frac{π n}{l}} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{π n}{l}$ .

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) (1 \frac{l}{π n}) d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{l}{π n}$ per $1$ .

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) \frac{l}{π n} d u$

Passaggio 4.3

$\cos (u)$ e $\frac{l}{π n}$ .

$\frac{l}{n π} \int \frac{\cos (u) l}{π n} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{l}{π n}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{l}{π n}$ fuori dall'integrale.

$\frac{l}{n π} (\frac{l}{π n} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{l}{π n}$ per $\frac{l}{n π}$ .

$\frac{l \cdot l}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Passaggio 6.2

Eleva $l$ alla potenza di $1$ .

$\frac{l^{1} l}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Passaggio 6.3

Eleva $l$ alla potenza di $1$ .

$\frac{l^{1} l^{1}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Passaggio 6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{l^{1 + 1}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Passaggio 6.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{l^{2}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Passaggio 6.6

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$\frac{l^{2}}{n (n (π^{1} π))} \int \cos (u) d u$

Passaggio 6.7

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$\frac{l^{2}}{n (n (π^{1} π^{1}))} \int \cos (u) d u$

Passaggio 6.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{l^{2}}{n (n π^{1 + 1})} \int \cos (u) d u$

Passaggio 6.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{l^{2}}{n (n π^{2})} \int \cos (u) d u$

Passaggio 6.10

Eleva $n$ alla potenza di $1$ .

$\frac{l^{2}}{n^{1} n π^{2}} \int \cos (u) d u$

Passaggio 6.11

Eleva $n$ alla potenza di $1$ .

$\frac{l^{2}}{n^{1} n^{1} π^{2}} \int \cos (u) d u$

Passaggio 6.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{l^{2}}{n^{1 + 1} π^{2}} \int \cos (u) d u$

Passaggio 6.13

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} \int \cos (u) d u$

Passaggio 7

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} (\sin (u) + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} \sin (u) + C$

Passaggio 8.2

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}}$ e $\sin (u)$ .

$\frac{l^{2} \sin (u)}{n^{2} π^{2}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{n π x}{l}$ .

$\frac{l^{2} \sin (\frac{n π x}{l})}{n^{2} π^{2}} + C$