Calcolo Esempi

$\int \frac{\ln (x^{2})}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{\ln (x^{2})}{x^{2}}$ come $\frac{2 \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\int \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \int \ln (x) x^{- 2} d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{- 2}$ .

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\ln (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

Passaggio 5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

Passaggio 5.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

Passaggio 5.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

Passaggio 5.6

Somma $1$ e $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x)$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.1

Semplifica.

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Passaggio 7.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ per $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Passaggio 7.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x)$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C)$

Passaggio 9

Riscrivi $2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C)$ come $2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}) + C$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}) + C$