Calcolo Esempi

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2

Riscrivi $\frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}}$ come $\frac{\frac{1}{2} \ln (x)}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{\frac{1}{2} \ln (x)}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 4

Riscrivi $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ come un prodotto.

$\frac{1}{2} \int \ln (x) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int x^{\frac{1}{2}} \frac{2}{x} d x)$

Passaggio 6.2

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{x} d x)$

Passaggio 6.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x} d x)$

Passaggio 6.4

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x)$

Passaggio 6.5

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.5.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 6.5.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x)$

Passaggio 6.5.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x)$

Passaggio 6.5.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x)$

Passaggio 6.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x)$

Passaggio 6.5.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - \int \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - (2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x))$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Passaggio 8.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

Passaggio 8.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 8.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

Passaggio 8.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

Passaggio 8.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x)$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C))$

Passaggio 10

Riscrivi $\frac{1}{2} (\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C))$ come $\frac{1}{2} (2 \ln (x) x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (2 \ln (x) x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}}) + C$