Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{2}}^{0} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int_{\frac{π}{2}}^{0} d t + \int_{\frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{\frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 4

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = π$

Passaggio 4.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Passaggio 4.5

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{π}^{0} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 5

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{π}^{0} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \int_{π}^{0} \cos (u) d u)$

Passaggio 7

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{π}^{0})$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $t$ per $0$ e per $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((0) - \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{π}^{0})$

Passaggio 8.2

Calcola $\sin (u)$ per $0$ e per $π$ .

$\frac{1}{2} ((0) - \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (0)) - \sin (π)))$

Passaggio 8.3

Sottrai $\frac{π}{2}$ da $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (π)))$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (0 - \sin (π)))$

Passaggio 9.2

Sottrai $\sin (π)$ da $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (π)))$

Passaggio 9.3

$\frac{1}{2}$ e $\sin (π)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{\sin (π)}{2})$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Passaggio 10.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Passaggio 10.2

Dividi $0$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - 0)$

Passaggio 10.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + 0)$

Passaggio 10.4

Somma $- \frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2})$

Passaggio 10.5

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{π}{2})$ .

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Passaggio 10.5.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{π}{4}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{π}{4}$

Forma decimale:

$- 0.78539816 \dots$