Calcolo Esempi

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 4 π (1 - \cos (x)) d x$

Passaggio 1

Poiché $4 π$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4 π$ fuori dall'integrale.

$4 π \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 1 - \cos (x) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 π (\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x)$

Passaggio 5

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1.1

Calcola $x$ per $\frac{π}{3}$ e per $- \frac{π}{3}$ .

$4 π ((\frac{π}{3}) + \frac{π}{3} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

Passaggio 6.1.2

Calcola $\sin (x)$ per $\frac{π}{3}$ e per $- \frac{π}{3}$ .

$4 π (\frac{π}{3} + \frac{π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Passaggio 6.1.3

Semplifica.

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Passaggio 6.1.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 π (\frac{π + π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Passaggio 6.1.3.2

Somma $π$ e $π$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Passaggio 6.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})))$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})))$

Passaggio 6.3.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})))$

Passaggio 6.3.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Passaggio 6.3.4

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 6.3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Passaggio 6.3.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Passaggio 6.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 6.3.6

Somma $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 6.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 6.3.7.2

Dividi $\sqrt{3}$ per $1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - \sqrt{3})$

Passaggio 6.3.8

Applica la proprietà distributiva.

$4 π \frac{2 π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Passaggio 6.3.9

Moltiplica $4 π \frac{2 π}{3}$ .

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Passaggio 6.3.9.1

$\frac{2 π}{3}$ e $4$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

Passaggio 6.3.9.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8 π}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

Passaggio 6.3.9.3

$\frac{8 π}{3}$ e $π$ .

$\frac{8 π π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Passaggio 6.3.9.4

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$\frac{8 (π^{1} π)}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Passaggio 6.3.9.5

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$\frac{8 (π^{1} π^{1})}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Passaggio 6.3.9.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{8 π^{1 + 1}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Passaggio 6.3.9.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{8 π^{2}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Passaggio 6.3.10

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

Forma decimale:

$4.55335269 \dots$