Calcolo Esempi

$\int e^{9 x} \sec (e^{9 x}) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 9 x$ . Allora $d u_{1} = 9 d x$ , quindi $\frac{1}{9} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 9 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $9 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \frac{1}{9} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{9}$ e $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{9} \sec (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 2.2

$\frac{e^{u_{1}}}{9}$ e $\sec (e^{u_{1}})$ .

$\int \frac{e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}})}{9} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{9} \int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Allora $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{9} \int \sec (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 5

L'integrale di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| \sec (u_{2}) + \tan (u_{2}) |)$ .

$\frac{1}{9} (\ln (| \sec (u_{2}) + \tan (u_{2}) |) + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

$\frac{1}{9} \ln (| \sec (u_{2}) + \tan (u_{2}) |) + C$

Passaggio 7

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 7.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{9} \ln (| \sec (e^{u_{1}}) + \tan (e^{u_{1}}) |) + C$

Passaggio 7.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $9 x$ .

$\frac{1}{9} \ln (| \sec (e^{9 x}) + \tan (e^{9 x}) |) + C$