Calcolo Esempi

$\int e^{- s t} t d t$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t$ e $d v = e^{- s t}$ .

$t (- \frac{e^{- s t}}{s}) - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Passaggio 2

$t$ e $\frac{e^{- s t}}{s}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - - \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + 1 \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\int \frac{e^{- s t}}{s} d t$ per $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{s}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{s}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int e^{- s t} d t$

Passaggio 6

Sia $u = - s t$ . Allora $d u = - s d t$ , quindi $- \frac{1}{s} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = - s t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $- s t$ .

$\frac{d}{d t} [- s t]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $- s$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- s t$ rispetto a $t$ è $- s \frac{d}{d t} [t]$ .

$- s \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- s \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- s$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - e^{u} \frac{1}{s} d u$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{s}$ e $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - \frac{e^{u}}{s} d u$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} (- \int \frac{e^{u}}{s} d u)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{s}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{s}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} (- (\frac{1}{s} \int e^{u} d u))$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{1}{s}$ per $\frac{1}{s}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s \cdot s} \int e^{u} d u$

Passaggio 10.2

Eleva $s$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1} s} \int e^{u} d u$

Passaggio 10.3

Eleva $s$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1} s^{1}} \int e^{u} d u$

Passaggio 10.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1 + 1}} \int e^{u} d u$

Passaggio 10.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} \int e^{u} d u$

Passaggio 11

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} (e^{u} + C)$

Passaggio 12

Riscrivi $- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} (e^{u} + C)$ come $- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{u}}{s^{2}} + C$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{u}}{s^{2}} + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- s t$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{- s t}}{s^{2}} + C$