Calcolo Esempi

$\int \frac{x}{{(1 - x)}^{10}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- (- u + 1)}{u^{10}} d u$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{- u + 1}{u^{10}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{- u + 1}{u^{10}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $u^{10}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int (- u + 1) {(u^{10})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{10})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int (- u + 1) u^{10 \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$- \int (- u + 1) u^{- 10} d u$

Passaggio 5

Moltiplica $(- u + 1) u^{- 10}$ .

$- \int - u \cdot u^{- 10} + 1 u^{- 10} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $u$ per $u^{- 10}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1.1

Sposta $u^{- 10}$ .

$- \int - (u^{- 10} u) + 1 u^{- 10} d u$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $u^{- 10}$ per $u$ .

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Passaggio 6.1.2.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$- \int - (u^{- 10} u^{1}) + 1 u^{- 10} d u$

Passaggio 6.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \int - u^{- 10 + 1} + 1 u^{- 10} d u$

Passaggio 6.1.3

Somma $- 10$ e $1$ .

$- \int - u^{- 9} + 1 u^{- 10} d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $u^{- 10}$ per $1$ .

$- \int - u^{- 9} + u^{- 10} d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- (\int - u^{- 9} d u + \int u^{- 10} d u)$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- (- \int u^{- 9} d u + \int u^{- 10} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 9}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{8} u^{- 8}$ .

$- (- (- \frac{1}{8} u^{- 8} + C) + \int u^{- 10} d u)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

$u^{- 8}$ e $\frac{1}{8}$ .

$- (- (- \frac{u^{- 8}}{8} + C) + \int u^{- 10} d u)$

Passaggio 10.2

Sposta $u^{- 8}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) + \int u^{- 10} d u)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 10}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{9} u^{- 9}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) - \frac{1}{9} u^{- 9} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

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Passaggio 12.1.1

$u^{- 9}$ e $\frac{1}{9}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) - \frac{u^{- 9}}{9} + C)$

Passaggio 12.1.2

Sposta $u^{- 9}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) - \frac{1}{9 u^{9}} + C)$

Passaggio 12.2

Semplifica.

$- (\frac{1}{8 u^{8}} - \frac{1}{9 u^{9}}) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$- (\frac{1}{8 {(1 - x)}^{8}} - \frac{1}{9 {(1 - x)}^{9}}) + C$