Calcolo Esempi

$\int \frac{x}{{(\frac{3}{2} y - x)}^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{3}{2} y - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{3}{2} y - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{3}{2} y - x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y - x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3}{2} y - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $\frac{3}{2} y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{2} y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- (- u + \frac{3 y}{2})}{u^{2}} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\int - (\frac{2}{2} \cdot \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}) d u$

Passaggio 2.3

Combina.

$\int - \frac{2 (- u + \frac{3 y}{2})}{2 u^{2}} d u$

Passaggio 2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\int - \frac{2 (- u) + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Passaggio 2.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\int - \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{- 2 u + 3 y}{u^{2}} d u)$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{- 2} d u$

Passaggio 6

Espandi $(- 2 u + 3 y) u^{- 2}$ .

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{2} \int - 2 u \cdot u^{- 2} + 3 y u^{- 2} d u$

Passaggio 6.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - 2 (u^{1} u^{- 2}) + 3 y u^{- 2} d u$

Passaggio 6.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{1 - 2} + 3 y u^{- 2} d u$

Passaggio 6.4

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{- 1} + 3 y u^{- 2} d u$

Passaggio 6.5

Riordina $- 2 u^{- 1}$ e $3 y u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} \int 3 y u^{- 2} - 2 u^{- 1} d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \frac{1}{2} (\int 3 y u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Passaggio 8

Poiché $3 y$ è costante rispetto a $u$ , sposta $3 y$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} (3 y \int u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Passaggio 10

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 \int u^{- 1} d u)$

Passaggio 11

L'integrale di $u^{- 1}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 (\ln (| u |) + C))$

Passaggio 12

Semplifica.

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{u} - 2 \ln (| u |)) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3}{2} y - x$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{\frac{3}{2} y - x} - 2 \ln (| \frac{3}{2} y - x |)) + C$