Calcolo Esempi

$\int \frac{x - e^{3 \arctan (x)}}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = \arctan (x)$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ , quindi $- d u_{1} = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = \arctan (x)$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \tan (u_{1}) - e^{3 u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int - e^{3 u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 3

L'integrale di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ .

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C + \int - e^{3 u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \int e^{3 u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 5

Sia $u_{2} = 3 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 3 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u_{2} = 3 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $3 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 u_{1}]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $3 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $3 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$3 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 6

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$\ln (| \sec (u_{1}) |) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 10

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\arctan (x)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) |) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 10.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 u_{1}$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) |) - \frac{1}{3} e^{3 u_{1}} + C$

Passaggio 10.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\arctan (x)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) |) - \frac{1}{3} e^{3 \arctan (x)} + C$