Calcolo Esempi

$\int \sqrt{t} (t^{6} + t - 4) d t$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t^{6} + t - 4$ e $d v = \sqrt{t}$ .

$(t^{6} + t - 4) (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (6 t^{5} + 1) d t$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{2}{3}$ e $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (6 t^{5} + 1) d t$

Passaggio 2.2

$\frac{2}{3}$ e $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (6 t^{5} + 1) d t$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (6 t^{5}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

Passaggio 3.2

Riordina $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $6$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 6 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{5} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

Passaggio 3.3

Riordina $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $1$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 6 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{5} + 1 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Passaggio 3.4

$6$ e $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{6 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} t^{5} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Passaggio 3.5

Moltiplica $6$ per $2$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{5} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Passaggio 3.6

$\frac{12 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $t^{5}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2}} t^{5}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Passaggio 3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2} + 5}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Passaggio 3.8

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Passaggio 3.9

$5$ e $\frac{2}{2}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Passaggio 3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3 + 5 \cdot 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Passaggio 3.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.11.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{3 + 10}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Passaggio 3.11.2

Somma $3$ e $10$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{13}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Passaggio 3.12

Moltiplica $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $1$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{12 t^{\frac{13}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Scomponi $3$ da $12 t^{\frac{13}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (4 t^{\frac{13}{2}})}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Passaggio 4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (4 t^{\frac{13}{2}})}{3 (1)} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (4 t^{\frac{13}{2}})}{3 \cdot 1} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{13}{2}}}{1} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Passaggio 4.2.4

Dividi $4 t^{\frac{13}{2}}$ per $1$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 4 t^{\frac{13}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int 4 t^{\frac{13}{2}} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Passaggio 6

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 \int t^{\frac{13}{2}} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{\frac{13}{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{2}{15} t^{\frac{15}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2}{15} t^{\frac{15}{2}} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Passaggio 8

$\frac{2}{15}$ e $t^{\frac{15}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + C) + \frac{2}{3} \int t^{\frac{3}{2}} d t)$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{2}{5}$ e $t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{6} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 (\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Passaggio 11.2

Semplifica.

$\frac{t^{\frac{15}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 \frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Passaggio 11.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $t^{\frac{15}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 \frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Passaggio 11.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (4 \frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Passaggio 11.3.3

$4$ e $\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{15}$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4 (2 t^{\frac{15}{2}})}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Passaggio 11.3.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

Passaggio 11.3.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5}) + C$

Passaggio 11.3.7

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Passaggio 11.3.8

Per scrivere $- (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 11.3.9

$- (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 11.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}} - (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 11.3.11

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{2 t^{\frac{15}{2}} - 3 (\frac{8 t^{\frac{15}{2}}}{15} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} (2 t^{\frac{15}{2}} - 3 (\frac{8}{15} t^{\frac{15}{2}} + \frac{4}{15} t^{\frac{5}{2}})) + \frac{2}{3} t^{\frac{5}{2}} - \frac{8}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$