Calcolo Esempi

$\int \sqrt{x} \ln (x^{2}) d x$

Passaggio 1

Riscrivi $\sqrt{x} \ln (x^{2})$ come $\sqrt{x} (2 \ln (x))$ .

$\int \sqrt{x} (2 \ln (x)) d x$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \sqrt{x} (\ln (x)) d x$

Passaggio 3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = \sqrt{x}$ .

$2 (\ln (x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\ln (x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4.2

$\ln (x)$ e $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4.3

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4.4

Moltiplica $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3 x} d x)$

Passaggio 4.5

Sposta $x^{1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}{3} d x)$

Passaggio 4.6

Moltiplica $x^{\frac{3}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.6.1

Sposta $x^{- 1}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}{3} d x)$

Passaggio 4.6.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{- 1 + \frac{3}{2}}}{3} d x)$

Passaggio 4.6.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} d x)$

Passaggio 4.6.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} d x)$

Passaggio 4.6.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}{3} d x)$

Passaggio 4.6.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}{3} d x)$

Passaggio 4.6.6.2

Somma $- 2$ e $3$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} d x)$

Passaggio 5

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x))$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C))$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C))$

Passaggio 7.2

Riscrivi $2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C))$ come $2 (\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{9}) + C$ .

$2 (\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{9}) + C$

Passaggio 7.3

Riordina i termini.

$2 (\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}) + C$