Calcolo Esempi

$\int \frac{v + 1}{- 1 - v^{2}} d v$

Passaggio 1

Dividi la frazione $\frac{v + 1}{- 1 - v^{2}}$ in due frazioni.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} + \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} d v + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Passaggio 3

Sia $u = - 1 - v^{2}$ . Allora $d u = - 2 v d v$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = v d v$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = - 1 - v^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d v}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $- 1 - v^{2}$ .

$\frac{d}{d v} [- 1 - v^{2}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia.

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Passaggio 3.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 1 - v^{2}$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

Passaggio 3.1.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $v$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $- v^{2}$ rispetto a $v$ è $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 v)$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 v$

Passaggio 3.1.4

Sottrai $2 v$ da $0$ .

$- 2 v$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Passaggio 4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Passaggio 8

Scomponi $- 1$ da $- 1 - v^{2}$ .

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Passaggio 8.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 \cdot 1 - v^{2}} d v$

Passaggio 8.2

Scomponi $- 1$ da $- 1 \cdot 1$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - v^{2}} d v$

Passaggio 8.3

Scomponi $- 1$ da $- v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - (v^{2})} d v$

Passaggio 8.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (v^{2})$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1 + v^{2})} d v$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $- 1 (1 + v^{2})$ come $- (1 + v^{2})$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- (1 + v^{2})} d v$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 9.2.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{- 1 (- 1)}{- (1 + v^{2})} d v$

Passaggio 9.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

Passaggio 11

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1^{2} + v^{2}} d v$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + v^{2}}$ rispetto a $v$ è $\arctan (v) + C$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\arctan (v) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) - \arctan (v) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 1 - v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 1 - v^{2} |) - \arctan (v) + C$