Calcolo Esempi

$\int \sqrt{4 - 5 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \frac{2}{\sqrt{5}} \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5}$ è positivo.

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2}{\sqrt{5}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{4 - 5 {(\frac{2}{\sqrt{5}} \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.2.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.2.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.3

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ e $\sin (t)$ .

$\int \sqrt{4 - 5 {(\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{5})}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{5}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{{(2 \sqrt{5} \sin (t))}^{2}}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.4.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{5} \sin (t)$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.4.3

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{5}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 {\sqrt{5}}^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.5.2

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.5.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.5.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.5.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.5.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5^{1} \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.5.2.5

Calcola l'esponente.

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{4 \cdot 5 \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.5.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{20 \sin^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.6

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\int \sqrt{4 - 5 \frac{20 \sin^{2} (t)}{25}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.7

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.7.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$\int \sqrt{4 + 5 (- 1) \frac{20 \sin^{2} (t)}{25}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.7.2

Scomponi $5$ da $25$ .

$\int \sqrt{4 + 5 \cdot - 1 \frac{20 \sin^{2} (t)}{5 \cdot 5}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{4 + 5 \cdot - 1 \frac{20 \sin^{2} (t)}{5 \cdot 5}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{20 \sin^{2} (t)}{5}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.8

Elimina il fattore comune di $20$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.8.1

Scomponi $5$ da $20 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{5 (4 \sin^{2} (t))}{5}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.8.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{5 (4 \sin^{2} (t))}{5 (1)}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{5 (4 \sin^{2} (t))}{5 \cdot 1}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{4 - 1 \frac{4 \sin^{2} (t)}{1}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.8.2.4

Dividi $4 \sin^{2} (t)$ per $1$ .

$\int \sqrt{4 - 1 (4 \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.1.9

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$\int \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $4$ da $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sqrt{4 \cos^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $4 \cos^{2} (t)$ come ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int 2 \cos (t) \frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$\frac{2 \sqrt{5} \cos (t)}{5}$ e $2$ .

$\int \frac{2 \sqrt{5} \cos (t) \cdot 2}{5} \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int \frac{4 \sqrt{5} \cos (t)}{5} \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.3

$\frac{4 \sqrt{5} \cos (t)}{5}$ e $\cos (t)$ .

$\int \frac{4 \sqrt{5} \cos (t) \cos (t)}{5} d t$

Passaggio 2.2.4

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{5} (\cos^{1} (t) \cos (t))}{5} d t$

Passaggio 2.2.5

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{5} (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{5} d t$

Passaggio 2.2.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{4 \sqrt{5} {\cos (t)}^{1 + 1}}{5} d t$

Passaggio 2.2.7

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{5} \cos^{2} (t)}{5} d t$

Passaggio 3

Poiché $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{4 \sqrt{5}}{5} \int \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{5} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{4 \sqrt{5}}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{10} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $2$ da $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{5})}{10} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{5})}{2 (5)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 9

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 10

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Passaggio 14.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} (\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2}) + C$

Passaggio 15.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}) + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2} + C$

Passaggio 15.3

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ e $\arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2} + C$

Passaggio 15.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{2 (\sqrt{5})}{5} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2} + C$

Passaggio 15.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{2} + C$

Passaggio 15.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})) + C$

Passaggio 15.5

$\frac{\sqrt{5}}{5}$ e $\sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2})}{5} + \frac{\sqrt{5} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5} x}{2}))}{5} + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \arcsin (\frac{\sqrt{5}}{2} x) + \frac{\sqrt{5}}{5} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{5}}{2} x)) + C$