Calcolo Esempi

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 25} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 5 \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 \sec (t)$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $25$ da $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $25$ da $- 25$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $25$ da $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 \tan^{2} (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $25 \tan^{2} (t)$ come ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $5$ da $5 \sec (t)$ .

$\int {(5 (\sec (t)))}^{3} (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola del prodotto a $5 (\sec (t))$ .

$\int 5^{3} \sec^{3} (t) (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\int 125 \sec^{3} (t) (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $5$ per $125$ .

$\int 625 \sec^{3} (t) \tan (t) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $5$ per $625$ .

$\int 3125 \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.6

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 3125 (\sec^{1} (t) \sec^{3} (t)) \tan (t) \tan (t) d t$

Passaggio 2.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 3125 {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

Passaggio 2.2.8

Somma $1$ e $3$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Passaggio 2.2.9

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.10

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Passaggio 2.2.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 3125 \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 2.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Poiché $3125$ è costante rispetto a $t$ , sposta $3125$ fuori dall'integrale.

$3125 \int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$3125 \int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 4.2

Riscrivi ${\sec (t)}^{2 + 2}$ come $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$3125 \int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (t)$ come $1 + \tan^{2} (t)$ .

$3125 \int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Sia $u = \tan (t)$ . Allora $d u = \sec^{2} (t) d t$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = \tan (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Passaggio 6.1.2

La derivata di $\tan (t)$ rispetto a $t$ è $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$3125 \int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

Passaggio 7

Moltiplica $(1 + u^{2}) u^{2}$ .

$3125 \int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$3125 \int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 8.2

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3125 \int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Passaggio 8.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$3125 \int u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$3125 (\int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3125 (\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$3125 (\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$3125 (\frac{u^{3}}{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 12.1.2

$\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$3125 (\frac{u^{3}}{3} + C + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Passaggio 12.2

Semplifica.

$3125 (\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Passaggio 13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (t)$ .

$3125 (\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t)) + C$

Passaggio 13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$3125 (\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5})) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$3125 (\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{1}{5} x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (\frac{1}{5} x))) + C$