Calcolo Esempi

$\int x^{3} + \sin (22 x) + \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{3} d x + \int \sin (22 x) d x + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Passaggio 2

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \sin (22 x) d x + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = 22 x$ . Allora $d u_{1} = 22 d x$ , quindi $\frac{1}{22} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = 22 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $22 x$ .

$\frac{d}{d x} [22 x]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $22$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $22 x$ rispetto a $x$ è $22 \frac{d}{d x} [x]$ .

$22 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$22 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $22$ per $1$ .

$22$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \sin (u_{1}) \frac{1}{22} d u_{1} + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Passaggio 4

$\sin (u_{1})$ e $\frac{1}{22}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \frac{\sin (u_{1})}{22} d u_{1} + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{22}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{22}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{4} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int {(x + 1)}^{3} d x$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = x + 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{3}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{22} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}) + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

$\frac{1}{4}$ e ${u_{2}}^{4}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{1}{4} \cdot \frac{{u_{2}}^{4}}{4} + C$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{{u_{2}}^{4}}{4}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{{u_{2}}^{4}}{4 \cdot 4} + C$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{22} + \frac{{u_{2}}^{4}}{16} + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $22 x$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (22 x)}{22} + \frac{{u_{2}}^{4}}{16} + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{\cos (22 x)}{22} + \frac{{(x + 1)}^{4}}{16} + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{22} \cos (22 x) + \frac{1}{16} {(x + 1)}^{4} + C$