Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) + \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 2

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 3

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 3.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Passaggio 3.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 3.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{1}^{0} - u d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{1}^{0} u d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0})$

Passaggio 6

$\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $- \cos (x)$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

Passaggio 7.2

Calcola $\frac{u^{2}}{2}$ per $0$ e per $1$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 7.3.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 7.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 7.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 7.3.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 7.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1}{2})$

Passaggio 7.3.4

Sottrai $\frac{1}{2}$ da $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - - \frac{1}{2}$

Passaggio 7.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + 1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 7.3.6

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- 0 + \cos (0) + \frac{1}{2}$

Passaggio 8.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 0 + 1 + \frac{1}{2}$

Passaggio 8.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + 1 + \frac{1}{2}$

Passaggio 8.4

Somma $0$ e $1$ .

$1 + \frac{1}{2}$

Passaggio 8.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 8.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 + 1}{2}$

Passaggio 8.7

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{3}{2}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3}{2}$

Forma decimale:

$1.5$

Forma numero misto:

$1 \frac{1}{2}$