Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 5 \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\sec (x)}^{2 + 2}$ come $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 3

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (x)$ come $1 + \tan^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 4

Sia $u = \tan (x)$ . Allora $d u = \sec^{2} (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = \tan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Passaggio 4.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.5

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

Passaggio 5

Moltiplica $u^{5} (1 + u^{2})$ .

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $u^{5}$ per $1$ .

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $u^{5}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Passaggio 6.2.2

Somma $5$ e $2$ .

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$5 (\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$5 (\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u)$

Passaggio 9

$\frac{1}{6}$ e $u^{6}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{7}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}})$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ e $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}})$

Passaggio 11.2

$\frac{1}{8}$ e $u^{8}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6} + \frac{u^{8}}{8}]_{0}^{\sqrt{3}})$

Passaggio 12

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Calcola $\frac{u^{6}}{6} + \frac{u^{8}}{8}$ per $\sqrt{3}$ e per $0$ .

$5 ((\frac{{\sqrt{3}}^{6}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8}) - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{6}$ come $3^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{6}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 6}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$5 (\frac{3^{\frac{6}{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 3}{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{3^{\frac{3}{1}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.1.4.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$5 (\frac{3^{3}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$5 (\frac{27}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.3

Elimina il fattore comune di $27$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$5 (\frac{3 (9)}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$5 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{9}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{8}$ come $3^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.4.3

$\frac{1}{2}$ e $8$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{8}{2}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.4.4

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 4}{2}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{4}{1}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.4.4.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{4}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.6

Per scrivere $\frac{9}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.7.1

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.7.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$5 (\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 (\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.9.1

Moltiplica $9$ per $4$ .

$5 (\frac{36 + 81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.9.2

Somma $36$ e $81$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{0}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.11

Elimina il fattore comune di $0$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.11.1

Scomponi $6$ da $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{6 (0)}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.11.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.11.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{0^{8}}{8}))$

Passaggio 12.2.12

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{0}{8}))$

Passaggio 12.2.13

Elimina il fattore comune di $0$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.13.1

Scomponi $8$ da $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{8 (0)}{8}))$

Passaggio 12.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.13.2.1

Scomponi $8$ da $8$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}))$

Passaggio 12.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}))$

Passaggio 12.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{0}{1}))$

Passaggio 12.2.13.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + 0))$

Passaggio 12.2.14

Somma $0$ e $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - 0)$

Passaggio 12.2.15

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$5 (\frac{117}{8} + 0)$

Passaggio 12.2.16

Somma $\frac{117}{8}$ e $0$ .

$5 (\frac{117}{8})$

Passaggio 12.2.17

$5$ e $\frac{117}{8}$ .

$\frac{5 \cdot 117}{8}$

Passaggio 12.2.18

Moltiplica $5$ per $117$ .

$\frac{585}{8}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{585}{8}$

Forma decimale:

$73.125$

Forma numero misto:

$73 \frac{1}{8}$