Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (x)$ come $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 3

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (x)$ come $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ per $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x)$

Passaggio 6

$\frac{1}{4}$ e $3$ .

$\frac{3}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Passaggio 7

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 7.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 7.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 7.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 7.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 7.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Passaggio 7.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{3}{4} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

Passaggio 9

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

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Passaggio 9.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 4} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.2

Espandi $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

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Passaggio 9.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.2.4

Sposta $\cos (u_{1})$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.2.5

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.2.6

Moltiplica $\cos (u_{1})$ per $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.2.8

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.2.9

Eleva $\cos (u_{1})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.2.10

Eleva $\cos (u_{1})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.2.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Passaggio 9.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.2.13

Sottrai $\cos (u_{1})$ da $\cos (u_{1})$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.2.14

Sottrai $\cos^{2} (u_{1})$ da $0$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{3}{8} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 13

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 14

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Passaggio 15

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Passaggio 16

Applica la regola costante.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Passaggio 17

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 17.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 17.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 17.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 17.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 17.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 17.2

Sostituisci $u_{1}$ con il limite inferiore in $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 17.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 17.4

Sostituisci $u_{1}$ con il limite superiore in $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 π$

Passaggio 17.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Passaggio 17.6

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Passaggio 18

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Passaggio 19

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Passaggio 20

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

Passaggio 21

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 21.1

Calcola $u_{1}$ per $π$ e per $0$ .

$\frac{3}{8} ((π) + 0 - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

Passaggio 21.2

Calcola $u_{1}$ per $π$ e per $0$ .

$\frac{3}{8} (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

Passaggio 21.3

Calcola $\sin (u_{2})$ per $2 π$ e per $0$ .

$\frac{3}{8} (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))))$

Passaggio 21.4

Semplifica.

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Passaggio 21.4.1

Somma $π$ e $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))))$

Passaggio 21.4.2

Somma $π$ e $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))))$

Passaggio 22

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)))$

Passaggio 22.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)))$

Passaggio 22.3

Somma $\sin (2 π)$ e $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \sin (2 π)))$

Passaggio 22.4

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 π)$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}))$

Passaggio 23

Semplifica.

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Passaggio 23.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 23.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 23.1.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (0)}{2}))$

Passaggio 23.1.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{0}{2}))$

Passaggio 23.1.2

Dividi $0$ per $2$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + 0))$

Passaggio 23.2

Somma $π$ e $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} π)$

Passaggio 23.3

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{π}{2})$

Passaggio 23.4

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 23.5

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 23.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 23.7

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 23.8

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 23.9

Moltiplica $\frac{3}{8} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 23.9.1

Moltiplica $\frac{3}{8}$ per $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 π}{8 \cdot 2}$

Passaggio 23.9.2

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{3 π}{16}$

Passaggio 24

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3 π}{16}$

Forma decimale:

$0.58904862 \dots$