Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . Allora $d u_{2} = 2 \sin (2 t) d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $6 - \cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [6 - \cos (2 t)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 - \cos (2 t)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \cos (2 t)$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 2 t$ .

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Passaggio 2.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 t$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t])$

Passaggio 2.1.3.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t])$

Passaggio 2.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 t$ .

$0 - (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])$

Passaggio 2.1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Passaggio 2.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.1.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 - (- \sin (2 t) \cdot 2)$

Passaggio 2.1.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - (- 2 \sin (2 t))$

Passaggio 2.1.3.7

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$0 + 2 \sin (2 t)$

Passaggio 2.1.4

Somma $0$ e $2 \sin (2 t)$ .

$2 \sin (2 t)$

Passaggio 2.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (2 \cdot 0)$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (0)$

Passaggio 2.3.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$u_{lower} = 5$

Passaggio 2.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Passaggio 2.5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = 6 - \cos (π)$

Passaggio 2.5.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$u_{upper} = 6 - - \cos (0)$

Passaggio 2.5.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{upper} = 6 - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.5.1.4

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 2.5.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = 6 - - 1$

Passaggio 2.5.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Passaggio 2.5.2

Somma $6$ e $1$ .

$u_{upper} = 7$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 7$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ per $1$ .

$\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{5}^{7}$

Passaggio 7

Calcola $\ln (| u_{2} |)$ per $7$ e per $5$ .

$\ln (| 7 |) - \ln (| 5 |)$

Passaggio 8

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 7 |}{| 5 |})$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $7$ è $7$ .

$\ln (\frac{7}{| 5 |})$

Passaggio 9.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $5$ è $5$ .

$\ln (\frac{7}{5})$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (\frac{7}{5})$

Forma decimale:

$0.33647223 \dots$