Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 18 \tan (3 x) d x$

Passaggio 1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , sposta $18$ fuori dall'integrale.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{12}} \tan (3 x) d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{12}$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (4)}$

Passaggio 2.5.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

$\tan (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$18 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan (u)}{3} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$18 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{3}$ e $18$ .

$\frac{18}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $18$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Passaggio 5.2.2.4

Dividi $6$ per $1$ .

$6 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\ln (| \sec (u) |)$ .

$6 (\ln (| \sec (u) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Passaggio 7

Calcola $\ln (| \sec (u) |)$ per $\frac{π}{4}$ e per $0$ .

$6 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{4})$ è $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$6 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))$

Passaggio 8.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$6 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 8.3

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Passaggio 9.1.2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.1.2.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Passaggio 9.1.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Passaggio 9.1.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})$

Passaggio 9.1.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})$

Passaggio 9.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})$

Passaggio 9.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 9.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})$

Passaggio 9.1.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})$

Passaggio 9.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})$

Passaggio 9.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})$

Passaggio 9.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})$

Passaggio 9.1.2.6.5

Calcola l'esponente.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})$

Passaggio 9.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})$

Passaggio 9.1.3.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$6 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})$

Passaggio 9.1.4

$\sqrt{2}$ corrisponde approssimativamente a $1.41421356$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$6 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})$

Passaggio 9.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$6 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})$

Passaggio 9.3

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$6 \ln (\sqrt{2})$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$6 \ln (\sqrt{2})$

Forma decimale:

$2.07944154 \dots$