Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \sin^{3} (6 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 6 x$ . Allora $d u_{1} = 6 d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 6 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = 6 x$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $6$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = 6 x$ .

$u_{upper} = 6 \frac{π}{12}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 (2)}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Passaggio 2

$\sin^{3} (u_{1})$ e $\frac{1}{6}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (u_{1})}{6} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 4

Metti in evidenza $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 5

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sin^{2} (u_{1})$ come $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , quindi $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Passaggio 6.1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Passaggio 6.2

Sostituisci $u_{1}$ con il limite inferiore in $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Passaggio 6.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 6.4

Sostituisci $u_{1}$ con il limite superiore in $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 6.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{0} - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{6} (\int_{1}^{0} - 1 d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0})$

Passaggio 10

$- u_{2}]_{1}^{0}$ e $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$ .

$\frac{1}{6} - u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 11.1

Calcola $- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ per $0$ e per $1$ .

$\frac{1}{6} ((- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Passaggio 11.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Passaggio 11.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Passaggio 11.2.4

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Passaggio 11.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Passaggio 11.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

Passaggio 11.2.7

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Passaggio 11.2.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Passaggio 11.2.9

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Passaggio 11.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Passaggio 11.2.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.2.11.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 3 + 1}{3})$

Passaggio 11.2.11.2

Somma $- 3$ e $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 2}{3})$

Passaggio 11.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{6} (0 - - \frac{2}{3})$

Passaggio 11.2.13

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{6} (0 + 1 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 11.2.14

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{2}{3})$

Passaggio 11.2.15

Somma $0$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}$

Passaggio 11.2.16

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{6 \cdot 3}$

Passaggio 11.2.17

Moltiplica $6$ per $3$ .

$\frac{2}{18}$

Passaggio 11.2.18

Elimina il fattore comune di $2$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.18.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{18}$

Passaggio 11.2.18.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.18.2.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

Passaggio 11.2.18.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

Passaggio 11.2.18.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{9}$

Forma decimale:

$0.\overline{1}$