Calcolo Esempi

$\int \frac{y}{\sqrt{5 - y}} d y$

Passaggio 1

Sia $u = 5 - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 5 - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $5 - y$ .

$\frac{d}{d y} [5 - y]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $5$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- (- u + 5)}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{- u + 5}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{- u + 5}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int \frac{- u + 5}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int (- u + 5) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int (- u + 5) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \int (- u + 5) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \int (- u + 5) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Espandi $(- u + 5) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.2

Metti in evidenza il valore negativo.

$- \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.3

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$- \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.7

Sottrai $1$ da $2$ .

$- \int - u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.8

Riordina $- u^{\frac{1}{2}}$ e $5 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \int 5 u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- (\int 5 u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 7

Poiché $5$ è costante rispetto a $u$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$- (5 \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (5 (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Passaggio 11

Semplifica.

$- (10 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 - y$ .

$- (10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Per scrivere $10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- (10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Passaggio 13.2

$10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Passaggio 13.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{10 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 13.4

Moltiplica $3$ per $10$ .

$- \frac{30 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$- \frac{1}{3} (30 {(5 - y)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(5 - y)}^{\frac{3}{2}}) + C$