Calcolo Esempi

$\int \frac{x \sec (x) \tan (x) + 3 x^{2} + \sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{x \sec (x) \tan (x)}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{x \sec (x) \tan (x)}{x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{x \sec (x) \tan (x)}{x} d x + \int \frac{3 x^{2}}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 3.1.2

Dividi $\sec (x) \tan (x)$ per $1$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{3 x^{2}}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{x (3 x)}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 3.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{x (3 x)}{x^{1}} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 3.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int \frac{3 x}{1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 3.2.2.5

Dividi $3 x$ per $1$ .

$\int \sec (x) \tan (x) d x + \int 3 x d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 4

Poiché la derivata di $\sec (x)$ è $\sec (x) \tan (x)$ , l'integrale di $\sec (x) \tan (x)$ è $\sec (x)$ .

$\sec (x) + C + \int 3 x d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\sec (x) + C + 3 \int x d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Passaggio 7.2.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 7.2.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 7.2.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 7.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 7.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Passaggio 7.2.3.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 7.3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.3.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 7.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

$\sec (x) + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2

Riordina i termini.

$\sec (x) + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$