Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ è positivo.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (t)$ come $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} 1 - \cos (2 t) d t$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 8

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 8.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 8.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 8.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 8.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Passaggio 8.5.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.5.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 8.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 8.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 9

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u))$

Passaggio 11

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Passaggio 12

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 12.1

Calcola $t$ per $\frac{π}{4}$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Passaggio 12.2

Calcola $\sin (u)$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)))$

Passaggio 12.3

Somma $\frac{π}{4}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - \sin (0)))$

Passaggio 13.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - 0))$

Passaggio 13.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 + 0))$

Passaggio 13.4

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Passaggio 13.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 14.2

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 14.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 14.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 14.3

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Passaggio 14.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

Forma decimale:

$0.14269908 \dots$

Passaggio 16