Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{3 \sqrt{3}}{2}} \frac{x^{3}}{\sqrt{4 x^{2} + 9}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ è positivo.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $9$ da $9 \tan^{2} (t) + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $9$ da $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $9$ da $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $9$ da $9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.3

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi $9 \sec^{2} (t)$ come ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$\frac{3}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{{(3 \tan (t))}^{3}}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{3^{3} \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.2.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.2.3.3

Riscrivi $\frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)}$ come un prodotto.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8} \cdot \frac{1}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.2.3.4

Moltiplica $\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}$ per $\frac{1}{3 \sec (t)}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8 (3 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.2.3.5

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.2.3.6

Elimina il fattore comune di $27$ e $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.6.1

Scomponi $3$ da $27 \tan^{3} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.2.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.6.2.1

Scomponi $3$ da $24 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.2.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.2.3.7

Moltiplica $\frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)}$ per $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t) (3 \sec^{2} (t))}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

Passaggio 2.2.2.3.8

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

Passaggio 2.2.2.3.9

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{16 \sec (t)} d t$

Passaggio 2.2.2.3.10

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.10.1

Scomponi $\sec (t)$ da $27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{16 \sec (t)} d t$

Passaggio 2.2.2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.10.2.1

Scomponi $\sec (t)$ da $16 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

Passaggio 2.2.2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

Passaggio 2.2.2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec (t)}{16} d t$

Passaggio 3

Poiché $\frac{27}{16}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{27}{16}$ fuori dall'integrale.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 4

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 5

Metti in evidenza $\tan^{2} (t)$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 6

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Passaggio 8

Sia $u = \sec (t)$ . Allora $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , quindi $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = \sec (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Passaggio 8.1.2

La derivata di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Passaggio 8.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Passaggio 8.3

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 8.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

Passaggio 8.5

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{3})$ è $2$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 8.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 8.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{27}{16} \int_{1}^{2} - 1 + u^{2} d u$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{27}{16} (\int_{1}^{2} - 1 d u + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2})$

Passaggio 12

$- u]_{1}^{2}$ e $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$ .

$\frac{27}{16} - u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

Passaggio 13

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Calcola $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ per $2$ e per $1$ .

$\frac{27}{16} ((- 1 \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Passaggio 13.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Passaggio 13.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 8 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Passaggio 13.2.3

$\frac{1}{3}$ e $8$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Passaggio 13.2.4

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (- 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Passaggio 13.2.5

$- 2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Passaggio 13.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Passaggio 13.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.7.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 6 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Passaggio 13.2.7.2

Somma $- 6$ e $8$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Passaggio 13.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Passaggio 13.2.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

Passaggio 13.2.10

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Passaggio 13.2.11

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Passaggio 13.2.12

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Passaggio 13.2.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Passaggio 13.2.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.14.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Passaggio 13.2.14.2

Somma $- 3$ e $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 2}{3})$

Passaggio 13.2.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - - \frac{2}{3})$

Passaggio 13.2.16

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 13.2.17

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + \frac{2}{3})$

Passaggio 13.2.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{27}{16} \cdot \frac{2 + 2}{3}$

Passaggio 13.2.19

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{27}{16} \cdot \frac{4}{3}$

Passaggio 13.2.20

Moltiplica $\frac{27}{16}$ per $\frac{4}{3}$ .

$\frac{27 \cdot 4}{16 \cdot 3}$

Passaggio 13.2.21

Moltiplica $27$ per $4$ .

$\frac{108}{16 \cdot 3}$

Passaggio 13.2.22

Moltiplica $16$ per $3$ .

$\frac{108}{48}$

Passaggio 13.2.23

Elimina il fattore comune di $108$ e $48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.23.1

Scomponi $12$ da $108$ .

$\frac{12 (9)}{48}$

Passaggio 13.2.23.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.23.2.1

Scomponi $12$ da $48$ .

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

Passaggio 13.2.23.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

Passaggio 13.2.23.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{4}$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{9}{4}$

Forma decimale:

$2.25$

Forma numero misto:

$2 \frac{1}{4}$

Passaggio 15