Calcolo Esempi

$\int_{0}^{0.786} x \sin^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin^{2} (x)$ .

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x))]_{0}^{0.786} - \int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 x))]_{0}^{0.786} - \int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

Passaggio 2.2

$\sin (2 x)$ e $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - \int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\int_{0}^{0.786} \frac{x}{2} d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Passaggio 4.2

$\sin (2 x)$ e $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\int_{0}^{0.786} \frac{x}{2} d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.786} x d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{0.786} + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786} + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{2}$ e $\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \int_{0}^{0.786} \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - (\frac{1}{4} \int_{0}^{0.786} \sin (2 x) d x))$

Passaggio 10

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 10.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 10.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.786$

Passaggio 10.5

Moltiplica $2$ per $0.786$ .

$u_{upper} = 1.572$

Passaggio 10.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.572$

Passaggio 10.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{4} \int_{0}^{1.572} \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 11

$\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{4} \int_{0}^{1.572} \frac{\sin (u)}{2} d u)$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{1.572} \sin (u) d u))$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 4} \int_{0}^{1.572} \sin (u) d u)$

Passaggio 13.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{8} \int_{0}^{1.572} \sin (u) d u)$

Passaggio 14

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{8} - \cos (u)]_{0}^{1.572})$

Passaggio 15

$- \cos (u)]_{0}^{1.572}$ e $\frac{1}{8}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{- \cos (u)]_{0}^{1.572}}{8})$

Passaggio 16

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Calcola $x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})$ per $0.786$ e per $0$ .

$(0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0.786)}{4})) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{- \cos (u)]_{0}^{1.572}}{8})$

Passaggio 16.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $0.786$ e per $0$ .

$(0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0.786)}{4})) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{- \cos (u)]_{0}^{1.572}}{8})$

Passaggio 16.3

Calcola $- \cos (u)$ per $1.572$ e per $0$ .

$(0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0.786)}{4})) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Moltiplica $2$ per $0.786$ .

$0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (1.572)}{4}) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.2

Moltiplica $0.786$ per $\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (1.572)}{4}$ .

$0.11239814 + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.3.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$0.11239814 + 0 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$0.11239814 + 0 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$0.11239814 + 0 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0.11239814 + 0 (\frac{0}{1} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$0.11239814 + 0 (0 - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0.11239814 + 0 (0 - \frac{\sin (0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.5

Sottrai $\frac{\sin (0)}{4}$ da $0$ .

$0.11239814 + 0 (- \frac{\sin (0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.6

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0.11239814 + 0 \frac{\sin (0)}{4} - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.7

Moltiplica $0$ per $\frac{\sin (0)}{4}$ .

$0.11239814 + 0 - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.8

Somma $0.11239814$ e $0$ .

$0.11239814 - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.9

Eleva $0.786$ alla potenza di $2$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{0}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.11

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.11.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{2 (0)}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.11.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{0}{1}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.11.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - 0}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.12

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} + 0}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.13

Somma $\frac{0.617796}{2}$ e $0$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.14

Riscrivi $\frac{\frac{0.617796}{2}}{2}$ come un prodotto.

$0.11239814 - (\frac{0.617796}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.15

Moltiplica $\frac{0.617796}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$0.11239814 - (\frac{0.617796}{2 \cdot 2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.16

Moltiplica $2$ per $2$ .

$0.11239814 - (\frac{0.617796}{4} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Passaggio 16.4.17

Sottrai $\frac{0.617796}{4} - \frac{- \cos (1.572) + \cos (0)}{8}$ da $0.11239814$ .

$0.0830996$