Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} x \cos (π x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \cos (π x)$ .

$x (\frac{1}{π} \sin (π x))]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{π}$ e $\sin (π x)$ .

$x \frac{\sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{\sin (π x)}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{π}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin (π x) d x)$

Passaggio 4

Sia $u = π x$ . Allora $d u = π d x$ , quindi $\frac{1}{π} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = π x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Passaggio 4.3

Moltiplica $π$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = π x$ .

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

Passaggio 4.5

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Passaggio 5

$\sin (u)$ e $\frac{1}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{π} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{π}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{π}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{π}$ per $\frac{1}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Passaggio 7.2

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Passaggio 7.3

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Passaggio 7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1 + 1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Passaggio 7.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $\frac{x \sin (π x)}{π}$ per $\frac{1}{2}$ e per $0$ .

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Passaggio 9.2

Calcola $- \cos (u)$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3

Semplifica.

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Passaggio 9.3.1

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \sin (\frac{π}{2})}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.2

$\frac{1}{2}$ e $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.3

Riscrivi $\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π}$ come un prodotto.

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2} \cdot \frac{1}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica $\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}$ per $\frac{1}{π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.5

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.6

Moltiplica $0$ per $\sin (0)$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Passaggio 9.3.7

Per scrivere $- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 π}{2 π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2 π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 9.3.8

$- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ e $\frac{2 π}{2 π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} + \frac{- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 9.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 9.3.10

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - 2 \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 9.3.11

$- 2$ e $\frac{1}{π^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 9.3.12

$π$ e $\frac{- 2}{π^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 9.3.13

Sposta $- 2$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2 \cdot π}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 9.3.14

Elimina il fattore comune di $π$ e $π^{2}$ .

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Passaggio 9.3.14.1

Scomponi $π$ da $- 2 π$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 9.3.14.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.3.14.2.1

Scomponi $π$ da $π^{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 9.3.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 9.3.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 9.3.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 10.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 10.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 10.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 10.5

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} \cdot 1}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 10.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π}$

Passaggio 10.7

Per scrivere $- \frac{0}{π}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 10.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 π$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 10.8.1

Moltiplica $\frac{0}{π}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{π \cdot 2}$

Passaggio 10.8.2

Riordina i fattori di $π \cdot 2$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{2 π}$

Passaggio 10.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0 \cdot 2}{2 π}$

Passaggio 10.10

Moltiplica $0$ per $2$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0}{2 π}$

Passaggio 10.11

Somma $1 - \frac{2}{π}$ e $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π}$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{π}{π} - \frac{2}{π}}{2 π}$

Passaggio 11.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{π - 2}{π}}{2 π}$

Passaggio 11.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$

Passaggio 11.3

Moltiplica $\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$ .

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Passaggio 11.3.1

Moltiplica $\frac{π - 2}{π}$ per $\frac{1}{2 π}$ .

$\frac{π - 2}{π (2 π)}$

Passaggio 11.3.2

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π)}$

Passaggio 11.3.3

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π^{1})}$

Passaggio 11.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{π - 2}{2 π^{1 + 1}}$

Passaggio 11.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

Forma decimale:

$0.05783375 \dots$