Calcolo Esempi

$\int 3 x e^{- 9 x} d x$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int x e^{- 9 x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- 9 x}$ .

$3 (x (- \frac{1}{9} e^{- 9 x}) - \int - \frac{1}{9} e^{- 9 x} d x)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$e^{- 9 x}$ e $\frac{1}{9}$ .

$3 (x (- \frac{e^{- 9 x}}{9}) - \int - \frac{1}{9} e^{- 9 x} d x)$

Passaggio 3.2

$x$ e $\frac{e^{- 9 x}}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \int - \frac{1}{9} e^{- 9 x} d x)$

Passaggio 3.3

$e^{- 9 x}$ e $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \int - \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - - \int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + 1 \int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x$ per $1$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int e^{- 9 x} d x)$

Passaggio 7

Sia $u = - 9 x$ . Allora $d u = - 9 d x$ , quindi $- \frac{1}{9} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = - 9 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$- 9$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int e^{u} \frac{1}{- 9} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int e^{u} (- \frac{1}{9}) d u)$

Passaggio 8.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int - \frac{e^{u}}{9} d u)$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} (- \int \frac{e^{u}}{9} d u))$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} (- (\frac{1}{9} \int e^{u} d u)))$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{9 \cdot 9} \int e^{u} d u)$

Passaggio 11.2

Moltiplica $9$ per $9$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{81} \int e^{u} d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{81} (e^{u} + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Riscrivi $3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{81} (e^{u} + C))$ come $3 (- \frac{1}{9} x e^{- 9 x} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$ .

$3 (- \frac{1}{9} x e^{- 9 x} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

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Passaggio 13.2.1

$x$ e $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x}{9} e^{- 9 x} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$

Passaggio 13.2.2

$e^{- 9 x}$ e $\frac{x}{9}$ .

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$

Passaggio 13.2.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{81}$ .

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9} - \frac{e^{u}}{81}) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 9 x$ .

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9} - \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9}) + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 15.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{- 9 x} x}{9}$ nel numeratore.

$3 \frac{- e^{- 9 x} x}{9} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Passaggio 15.2.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$3 \frac{- e^{- 9 x} x}{3 (3)} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Passaggio 15.2.3

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{- e^{- 9 x} x}{3 \cdot 3} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Passaggio 15.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Passaggio 15.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 15.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{- 9 x}}{81}$ nel numeratore.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 \frac{- e^{- 9 x}}{81} + C$

Passaggio 15.3.2

Scomponi $3$ da $81$ .

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 \frac{- e^{- 9 x}}{3 (27)} + C$

Passaggio 15.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 \frac{- e^{- 9 x}}{3 \cdot 27} + C$

Passaggio 15.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + \frac{- e^{- 9 x}}{27} + C$

Passaggio 15.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{e^{- 9 x} x}{3} + \frac{- e^{- 9 x}}{27} + C$

Passaggio 15.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{e^{- 9 x} x}{3} - \frac{e^{- 9 x}}{27} + C$

Passaggio 15.5

Riordina i fattori in $- \frac{e^{- 9 x} x}{3} - \frac{e^{- 9 x}}{27}$ .

$- \frac{x e^{- 9 x}}{3} - \frac{e^{- 9 x}}{27} + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$- \frac{1}{3} x e^{- 9 x} - \frac{1}{27} e^{- 9 x} + C$