Calcolo Esempi

$\int 2 \sec^{4} (y) d y$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \sec^{4} (y) d y$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$2 \int {\sec (y)}^{2 + 2} d y$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\sec (y)}^{2 + 2}$ come $\sec^{2} (y) \sec^{2} (y)$ .

$2 \int \sec^{2} (y) \sec^{2} (y) d y$

Passaggio 3

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (y)$ come $1 + \tan^{2} (y)$ .

$2 \int (1 + \tan^{2} (y)) \sec^{2} (y) d y$

Passaggio 4

Sia $u = \tan (y)$ . Allora $d u = \sec^{2} (y) d y$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (y)} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \tan (y)$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\tan (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\tan (y)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\tan (y)$ rispetto a $y$ è $\sec^{2} (y)$ .

$\sec^{2} (y)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$2 \int 1 + u^{2} d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (\int d u + \int u^{2} d u)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$2 (u + C + \int u^{2} d u)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$2 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Passaggio 8.2

Semplifica.

$2 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (y)$ .

$2 (\tan (y) + \frac{1}{3} \tan^{3} (y)) + C$