Calcolo Esempi

$\int 2 \cos^{3} (4 x) d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \cos^{3} (4 x) d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = 4 x$ . Allora $d u_{1} = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = 4 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Passaggio 3

$\cos^{3} (u_{1})$ e $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{4} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{4}$ e $2$ .

$\frac{2}{4} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6

Metti in evidenza $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 7

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (u_{1})$ come $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Passaggio 8.1.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{1}{2} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{2} (\sin (4 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (4 x)) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

$\sin^{3} (4 x)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\sin (4 x) - \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Passaggio 15.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \sin (4 x) + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Passaggio 15.3

$\frac{1}{2}$ e $\sin (4 x)$ .

$\frac{\sin (4 x)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

Passaggio 15.4

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3})$ .

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Passaggio 15.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin^{3} (4 x)}{3}$ .

$\frac{\sin (4 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{2 \cdot 3} + C$

Passaggio 15.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\sin (4 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{6} + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \sin (4 x) - \frac{1}{6} \sin^{3} (4 x) + C$