Calcolo Esempi

$\int_{2}^{e + 1} \frac{4}{x - 1} d x$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{2}^{e + 1} \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Passaggio 2.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x - 1$ .

$u_{upper} = e + 1 - 1$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$u_{upper} = e + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $e$ e $0$ .

$u_{upper} = e$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$4 \int_{1}^{e} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$4 (\ln (| u |)]_{1}^{e})$

Passaggio 4

Calcola $\ln (| u |)$ per $e$ e per $1$ .

$4 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 5

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$e$ corrisponde approssimativamente a $2.71828182$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$4 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Passaggio 6.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$4 \ln (\frac{e}{1})$

Passaggio 6.3

Dividi $e$ per $1$ .

$4 \ln (e)$

Passaggio 6.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 6.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 7