Calcolo Esempi

$\int_{2}^{5} \frac{6}{{(3 x + 1)}^{3}} d x$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int_{2}^{5} \frac{1}{{(3 x + 1)}^{3}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 x + 1$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 3 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 2 + 1$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$u_{lower} = 6 + 1$

Passaggio 2.3.2

Somma $6$ e $1$ .

$u_{lower} = 7$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 5 + 1$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Passaggio 2.5.2

Somma $15$ e $1$ .

$u_{upper} = 16$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 16$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{3}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3} \cdot 3} d u$

Passaggio 3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{3}$ .

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{3 u^{3}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{1}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{3}$ e $6$ .

$\frac{6}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 5.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 5.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 5.1.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 5.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.2.1

Sposta $u^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 \int_{7}^{16} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{7}^{16} u^{3 \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 \int_{7}^{16} u^{- 3} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 3}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{7}^{16})$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$u^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{7}^{16})$

Passaggio 7.2

Sposta $u^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{7}^{16})$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $- \frac{1}{2 u^{2}}$ per $16$ e per $7$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 16^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 256} + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $2$ per $256$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Passaggio 8.2.3

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{2 \cdot 49})$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica $2$ per $49$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{98})$

Passaggio 8.2.5

Per scrivere $- \frac{1}{512}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{1}{512} \cdot \frac{49}{49} + \frac{1}{98})$

Passaggio 8.2.6

Per scrivere $\frac{1}{98}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{256}{256}$ .

$2 (- \frac{1}{512} \cdot \frac{49}{49} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Passaggio 8.2.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $25088$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 8.2.7.1

Moltiplica $\frac{1}{512}$ per $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{49}{512 \cdot 49} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Passaggio 8.2.7.2

Moltiplica $512$ per $49$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Passaggio 8.2.7.3

Moltiplica $\frac{1}{98}$ per $\frac{256}{256}$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{256}{98 \cdot 256})$

Passaggio 8.2.7.4

Moltiplica $98$ per $256$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{256}{25088})$

Passaggio 8.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \frac{- 49 + 256}{25088}$

Passaggio 8.2.9

Somma $- 49$ e $256$ .

$2 (\frac{207}{25088})$

Passaggio 8.2.10

$2$ e $\frac{207}{25088}$ .

$\frac{2 \cdot 207}{25088}$

Passaggio 8.2.11

Moltiplica $2$ per $207$ .

$\frac{414}{25088}$

Passaggio 8.2.12

Elimina il fattore comune di $414$ e $25088$ .

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Passaggio 8.2.12.1

Scomponi $2$ da $414$ .

$\frac{2 (207)}{25088}$

Passaggio 8.2.12.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.2.12.2.1

Scomponi $2$ da $25088$ .

$\frac{2 \cdot 207}{2 \cdot 12544}$

Passaggio 8.2.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 207}{2 \cdot 12544}$

Passaggio 8.2.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{207}{12544}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{207}{12544}$

Forma decimale:

$0.01650191 \dots$

Passaggio 10