Calcolo Esempi

$\int_{2 π}^{4 π} \cos (\frac{x}{4}) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{x}{4}$ . Allora $d u = \frac{1}{4} d x$ , quindi $4 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{x}{4}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 1.3.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

Passaggio 1.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{4 π}{4}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \frac{4 π}{4}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $π$ per $1$ .

$u_{upper} = π$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{4}$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) (1 \cdot 4) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \cdot 4 d u$

Passaggio 2.3

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos (u)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 4 \cos (u) d u$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $u$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$4 (\sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Passaggio 5

Calcola $\sin (u)$ per $π$ e per $\frac{π}{2}$ .

$4 (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$4 (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 (\sin (π) - 1)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$4 (\sin (0) - 1)$

Passaggio 7.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$4 (0 - 1)$

Passaggio 7.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$4 \cdot - 1$

Passaggio 7.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4$