Calcolo Esempi

$\int_{24}^{39} 2 p (10 \sqrt{x}) \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica $10$ per $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Passaggio 1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.3

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.4.2

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.4.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.4.6

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.4.6.5

Semplifica.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

Passaggio 1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 \sqrt{x}}{x}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.5.2

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{x}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.6.2

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.6.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.6.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.6.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.6.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.6.2.5

Semplifica.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.7

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 1.7.1

Scomponi $x$ da $25 x$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x^{2}}) x} d x$

Passaggio 1.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.7.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

Passaggio 1.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

Passaggio 1.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25}{x}) x} d x$

Passaggio 1.8

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{25}{x}) x} d x$

Passaggio 1.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{x + 25}{x} x} d x$

Passaggio 1.10

$\frac{x + 25}{x}$ e $x$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

Passaggio 1.11

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

Passaggio 1.11.2

Dividi $x + 25$ per $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x + 25} d x$

Passaggio 2

Poiché $20 p$ è costante rispetto a $x$ , sposta $20 p$ fuori dall'integrale.

$20 p \int_{24}^{39} \sqrt{x + 25} d x$

Passaggio 3

Sia $u = x + 25$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = x + 25$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $x + 25$ .

$\frac{d}{d x} [x + 25]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [25]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x + 25$ .

$u_{lower} = 24 + 25$

Passaggio 3.3

Somma $24$ e $25$ .

$u_{lower} = 49$

Passaggio 3.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x + 25$ .

$u_{upper} = 39 + 25$

Passaggio 3.5

Somma $39$ e $25$ .

$u_{upper} = 64$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 49$

$u_{upper} = 64$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$20 p \int_{49}^{64} \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$20 p \int_{49}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$20 p \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{49}^{64}$

Passaggio 6

$\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$20 p \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{49}^{64}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $64$ e per $49$ .

$20 p ((\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$20 p (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 7.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 7.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 7.2.4

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$20 p (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $2$ per $512$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 7.2.6

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 7.2.7

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Passaggio 7.2.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Passaggio 7.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{3}}{3})$

Passaggio 7.2.9

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 343}{3})$

Passaggio 7.2.10

Moltiplica $2$ per $343$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{686}{3})$

Passaggio 7.2.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$20 p \frac{1024 - 686}{3}$

Passaggio 7.2.12

Sottrai $686$ da $1024$ .

$20 p \frac{338}{3}$

Passaggio 7.2.13

$20$ e $\frac{338}{3}$ .

$p \frac{20 \cdot 338}{3}$

Passaggio 7.2.14

Moltiplica $20$ per $338$ .

$p \frac{6760}{3}$

Passaggio 7.2.15

$p$ e $\frac{6760}{3}$ .

$\frac{p \cdot 6760}{3}$

Passaggio 7.2.16

Sposta $6760$ alla sinistra di $p$ .

$\frac{6760 p}{3}$

Passaggio 8

Riordina i termini.

$\frac{6760}{3} p$

Passaggio 9

$\frac{6760}{3}$ e $p$ .

$\frac{6760 p}{3}$

Passaggio 10