Calcolo Esempi

$\int 625 x^{3} e^{5 x} d x$

Passaggio 1

Poiché $625$ è costante rispetto a $x$ , sposta $625$ fuori dall'integrale.

$625 \int x^{3} e^{5 x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{3}$ e $d v = e^{5 x}$ .

$625 (x^{3} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$625 (x^{3} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x)$

Passaggio 3.2

$x^{3}$ e $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x)$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (3 x^{2}) d x)$

Passaggio 3.4

$3$ e $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{3 e^{5 x}}{5} x^{2} d x)$

Passaggio 3.5

$\frac{3 e^{5 x}}{5}$ e $x^{2}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{3 e^{5 x} x^{2}}{5} d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{3}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{5}$ fuori dall'integrale.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - (\frac{3}{5} \int e^{5 x} x^{2} d x))$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x))$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x))$

Passaggio 6.2

$x^{2}$ e $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x))$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (2 x) d x))$

Passaggio 6.4

$2$ e $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x}}{5} x d x))$

Passaggio 6.5

$\frac{2 e^{5 x}}{5}$ e $x$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x} x}{5} d x))$

Passaggio 7

Poiché $\frac{2}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{5}$ fuori dall'integrale.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{2}{5} \int e^{5 x} x d x)))$

Passaggio 8

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)))$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)))$

Passaggio 9.2

$x$ e $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)))$

Passaggio 9.3

$\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x)))$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x))))$

Passaggio 11

Sia $u = 5 x$ . Allora $d u = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 11.1

Sia $u = 5 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 11.1.1

Differenzia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 11.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u)))$

Passaggio 12

$e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u)))$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))))$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{1}{5}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u)))$

Passaggio 14.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u)))$

Passaggio 15

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))))$

Passaggio 16

Riscrivi $625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))))$ come $625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{u}}{625}) + C$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{u}}{625}) + C$

Passaggio 17

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

Applica la proprietà distributiva.

$625 \frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Passaggio 18.2

Semplifica.

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Passaggio 18.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 18.2.1.1

Scomponi $5$ da $625$ .

$5 (125) \frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Passaggio 18.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot 125 \frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Passaggio 18.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Passaggio 18.2.2

Elimina il fattore comune di $25$ .

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Passaggio 18.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}$ nel numeratore.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 625 \frac{- 3 x^{2} e^{5 x}}{25} + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Passaggio 18.2.2.2

Scomponi $25$ da $625$ .

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 25 (25) \frac{- 3 x^{2} e^{5 x}}{25} + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Passaggio 18.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 25 \cdot 25 \frac{- 3 x^{2} e^{5 x}}{25} + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Passaggio 18.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 25 (- 3 x^{2} e^{5 x}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Passaggio 18.2.3

Moltiplica $- 3$ per $25$ .

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Passaggio 18.2.4

Elimina il fattore comune di $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.4.1

Scomponi $125$ da $625$ .

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 125 (5) \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Passaggio 18.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 125 \cdot 5 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Passaggio 18.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 5 (6 x e^{5 x}) + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Passaggio 18.2.5

Moltiplica $6$ per $5$ .

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

Passaggio 18.2.6

Elimina il fattore comune di $625$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{6 e^{5 x}}{625}$ nel numeratore.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) + 625 \frac{- 6 e^{5 x}}{625} + C$

Passaggio 18.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) + 625 \frac{- 6 e^{5 x}}{625} + C$

Passaggio 18.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) - 6 e^{5 x} + C$

Passaggio 18.3

Rimuovi le parentesi.

$125 x^{3} e^{5 x} - 75 x^{2} e^{5 x} + 30 x e^{5 x} - 6 e^{5 x} + C$