Calcolo Esempi

$\int_{- 8}^{0} 2 + \sqrt{64 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 8}^{0} 2 d x + \int_{- 8}^{0} \sqrt{64 - x^{2}} d x$

Passaggio 2

Applica la regola costante.

$2 x]_{- 8}^{0} + \int_{- 8}^{0} \sqrt{64 - x^{2}} d x$

Passaggio 3

Sia $x = 8 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 8 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $8 \cos (t)$ è positivo.

$2 x]_{- 8}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{64 - {(8 \sin (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica $\sqrt{64 - {(8 \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $8 \sin (t)$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{64 - (8^{2} \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.1.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{64 - (64 \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.1.3

Moltiplica $64$ per $- 1$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{64 - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $64$ da $64$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{64 (1) - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $64$ da $- 64 \sin^{2} (t)$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $64$ da $64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{64 (1 - \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$2 x]_{- 8}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{64 \cos^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.6

Riscrivi $64 \cos^{2} (t)$ come ${(8 \cos (t))}^{2}$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{{(8 \cos (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$2 x]_{- 8}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 8 \cos (t) (8 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $8$ per $8$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 64 \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 4.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 64 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Passaggio 4.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 64 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Passaggio 4.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x]_{- 8}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 64 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 4.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 64 \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Poiché $64$ è costante rispetto a $t$ , sposta $64$ fuori dall'integrale.

$2 x]_{- 8}^{0} + 64 \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + 64 \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 x]_{- 8}^{0} + 64 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{2}$ e $64$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + \frac{64}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $64$ e $2$ .

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Passaggio 8.2.1

Scomponi $2$ da $64$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + \frac{2 \cdot 32}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + \frac{2 \cdot 32}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x]_{- 8}^{0} + \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x]_{- 8}^{0} + \frac{32}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 8.2.2.4

Dividi $32$ per $1$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + 32 \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 x]_{- 8}^{0} + 32 (\int_{- \frac{π}{2}}^{0} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$2 x]_{- 8}^{0} + 32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 11

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 11.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 11.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 11.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 11.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 11.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{2}$ nel numeratore.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 11.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 11.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = - π$

Passaggio 11.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Passaggio 11.5

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 11.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 11.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 x]_{- 8}^{0} + 32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- π}^{0} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 12

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + 32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- π}^{0} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 x]_{- 8}^{0} + 32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{0} \cos (u) d u)$

Passaggio 14

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + 32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{0})$

Passaggio 15

$\frac{1}{2}$ e $\sin (u)]_{- π}^{0}$ .

$2 x]_{- 8}^{0} + 32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{0}}{2})$

Passaggio 16

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 16.1

Calcola $2 x$ per $0$ e per $- 8$ .

$(2 \cdot 0) - 2 \cdot - 8 + 32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{0}}{2})$

Passaggio 16.2

Calcola $t$ per $0$ e per $- \frac{π}{2}$ .

$(2 \cdot 0) - 2 \cdot - 8 + 32 ((0) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{0}}{2})$

Passaggio 16.3

Calcola $\sin (u)$ per $0$ e per $- π$ .

$(2 \cdot 0) - 2 \cdot - 8 + 32 ((0) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (0)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 - 2 \cdot - 8 + 32 ((0) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (0)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.4.2

Moltiplica $- 2$ per $- 8$ .

$0 + 16 + 32 ((0) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (0)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.4.3

Somma $0$ e $16$ .

$16 + 32 ((0) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (0)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 16.4.4

Somma $0$ e $\frac{π}{2}$ .

$16 + 32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 17

Semplifica.

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Passaggio 17.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$16 + 32 (\frac{π}{2} + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 17.2

Sottrai $\sin (- π)$ da $0$ .

$16 + 32 (\frac{π}{2} + \frac{- \sin (- π)}{2})$

Passaggio 17.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$16 + 32 (\frac{π}{2} - \frac{\sin (- π)}{2})$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 18.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$16 + 32 (\frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Passaggio 18.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$16 + 32 (\frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Passaggio 18.2

Dividi $0$ per $2$ .

$16 + 32 (\frac{π}{2} - 0)$

Passaggio 18.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$16 + 32 (\frac{π}{2} + 0)$

Passaggio 18.4

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$16 + 32 \frac{π}{2}$

Passaggio 18.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.1

Scomponi $2$ da $32$ .

$16 + 2 (16) \frac{π}{2}$

Passaggio 18.5.2

Elimina il fattore comune.

$16 + 2 \cdot 16 \frac{π}{2}$

Passaggio 18.5.3

Riscrivi l'espressione.

$16 + 16 π$

Passaggio 19

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$16 + 16 π$

Forma decimale:

$66.26548245 \dots$

Passaggio 20