Calcolo Esempi

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x \sqrt{x} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 1.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 1.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 1.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Passaggio 1.2.4

Somma $2$ e $1$ .

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 6

Semplifica.

$10 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$