Calcolo Esempi

$\int_{5}^{10} \sqrt{100 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 10 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 10 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $10 \cos (t)$ è positivo.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - {(10 \sin (t))}^{2}} (10 \cos (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{100 - {(10 \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $10 \sin (t)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - (10^{2} \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - (100 \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.3

Moltiplica $100$ per $- 1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - 100 \sin^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $100$ da $100$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 (1) - 100 \sin^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $100$ da $- 100 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 (1) + 100 (- \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $100$ da $100 (1) + 100 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 (1 - \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 \cos^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $100 \cos^{2} (t)$ come ${(10 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(10 \cos (t))}^{2}} (10 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 10 \cos (t) (10 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica $10$ per $10$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Passaggio 2.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 2.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Poiché $100$ è costante rispetto a $t$ , sposta $100$ fuori dall'integrale.

$100 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$100 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$100 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{2}$ e $100$ .

$\frac{100}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $100$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $2$ da $100$ .

$\frac{2 \cdot 50}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{50}{1} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2.2.4

Dividi $50$ per $1$ .

$50 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$50 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 9

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 9.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{6}$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 9.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

Passaggio 9.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 9.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 9.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 9.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

$u_{upper} = π$

Passaggio 9.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{3}}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 10

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{3}}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{3}}^{π} \cos (u) d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π})$

Passaggio 13

$\frac{1}{2}$ e $\sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π}$ .

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π}}{2})$

Passaggio 14

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 14.1

Calcola $t$ per $\frac{π}{2}$ e per $\frac{π}{6}$ .

$50 ((\frac{π}{2}) - \frac{π}{6} + \frac{\sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π}}{2})$

Passaggio 14.2

Calcola $\sin (u)$ per $π$ e per $\frac{π}{3}$ .

$50 ((\frac{π}{2}) - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Passaggio 14.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$50 (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Passaggio 14.3.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$50 (\frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Passaggio 14.3.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$50 (\frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Passaggio 14.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$50 (\frac{π \cdot 3 - π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Passaggio 14.3.4

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$50 (\frac{3 \cdot π - π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Passaggio 14.3.5

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$50 (\frac{2 π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Passaggio 14.3.6

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.6.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$50 (\frac{2 (π)}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Passaggio 14.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$50 (\frac{2 π}{2 \cdot 3} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Passaggio 14.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$50 (\frac{2 π}{2 \cdot 3} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Passaggio 14.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$50 (\frac{π}{3} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

$50 (\frac{π}{3} + \frac{\sin (π) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Passaggio 15

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$50 (\frac{π}{3} + \frac{\sin (π) - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$50 (\frac{π}{3} + \frac{\sin (0) - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Passaggio 16.1.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$50 (\frac{π}{3} + \frac{0 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Passaggio 16.1.1.3

Sottrai $\frac{\sqrt{3}}{2}$ da $0$ .

$50 (\frac{π}{3} + \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Passaggio 16.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$50 (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 16.1.3

Moltiplica $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$50 (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

Passaggio 16.1.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$50 (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Passaggio 16.2

Applica la proprietà distributiva.

$50 \frac{π}{3} + 50 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Passaggio 16.3

$50$ e $\frac{π}{3}$ .

$\frac{50 π}{3} + 50 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Passaggio 16.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ nel numeratore.

$\frac{50 π}{3} + 50 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 16.4.2

Scomponi $2$ da $50$ .

$\frac{50 π}{3} + 2 (25) \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 16.4.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{50 π}{3} + 2 \cdot 25 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 16.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{50 π}{3} + 2 \cdot 25 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 16.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{50 π}{3} + 25 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 16.5

$25$ e $\frac{- \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{50 π}{3} + \frac{25 (- \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 16.6

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$\frac{50 π}{3} + \frac{- 25 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 16.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{50 π}{3} - \frac{25 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{50 π}{3} - \frac{25 \sqrt{3}}{2}$

Forma decimale:

$30.70924246 \dots$

Passaggio 18