Calcolo Esempi

$\int 4 \tan^{3} (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \tan^{3} (x) d x$

Passaggio 2

Metti in evidenza $\tan^{2} (x)$ .

$4 \int \tan^{2} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 3

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (x)$ come $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Passaggio 4

Applica la proprietà distributiva.

$4 \int - 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (\int - 1 \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (- \int \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Passaggio 7

L'integrale di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) |)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Passaggio 8

Sia $u = \sec (x)$ . Allora $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = \sec (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 8.1.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int u d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{u^{2}}{2} + C)$

Passaggio 10.2

Semplifica.

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} u^{2}) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x)$ .

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (x)) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$\frac{1}{2}$ e $\sec^{2} (x)$ .

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{\sec^{2} (x)}{2}) + C$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (- \ln (| \sec (x) |)) + 4 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Passaggio 12.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 4 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Passaggio 12.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 (2) \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Passaggio 12.4.2

Elimina il fattore comune.

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 \cdot 2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Passaggio 12.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 \sec^{2} (x) + C$