Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\sqrt{12 x - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Scomponi $x$ da $12 x - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $x$ da $12 x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 12 - x^{2}}} d x$

Passaggio 1.2

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 12 + x (- x)}} d x$

Passaggio 1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 12 + x (- x)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x (12 - x)}} d x$

Passaggio 2

Completa il quadrato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot 12 + x (- x)$

Passaggio 2.1.2

Sposta $12$ alla sinistra di $x$ .

$12 \cdot x + x (- x)$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$12 \cdot x - x \cdot x$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Sposta $x$ .

$12 x - (x \cdot x)$

Passaggio 2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$12 x - x^{2}$

Passaggio 2.1.5

Riordina $12 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 12 x$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 12$

$c = 0$

Passaggio 2.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 6$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$d = - 6$

Passaggio 2.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 4}$

Passaggio 2.5.2.1.3

Dividi $144$ per $- 4$ .

$e = 0 - - 36$

Passaggio 2.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $0$ e $36$ .

$e = 36$

Passaggio 2.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(x - 6)}^{2} + 36$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - 6)}^{2} + 36}} d x$

Passaggio 3

Sia $u = x - 6$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = x - 6$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 36}} d u$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 6^{2}}} d u$

Passaggio 4.2

Riordina $- u^{2}$ e $6^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{6^{2} - u^{2}}} d u$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{6^{2} - u^{2}}}$ rispetto a $u$ è $\arcsin (\frac{u}{6})$ .

$\arcsin (\frac{u}{6}) + C$

Passaggio 6

Riscrivi $\arcsin (\frac{u}{6}) + C$ come $\arcsin (\frac{1}{6} u) + C$ .

$\arcsin (\frac{1}{6} u) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 6$ .

$\arcsin (\frac{1}{6} (x - 6)) + C$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\arcsin (\frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 6) + C$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{6}$ e $x$ .

$\arcsin (\frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 6) + C$

Passaggio 8.3

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Scomponi $6$ da $- 6$ .

$\arcsin (\frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot (6 (- 1))) + C$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune.

$\arcsin (\frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot - 1)) + C$

Passaggio 8.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\arcsin (\frac{x}{6} - 1) + C$

Passaggio 9

Riordina i termini.

$\arcsin (\frac{1}{6} x - 1) + C$