Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{16 x^{2} - 9}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \frac{3}{4} \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4}$ è positivo.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 {(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{16 {(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

$\frac{3}{4}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 {(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 \sec (t)}{4}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.1.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.1.1.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $9$ da $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $9$ da $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $9$ da $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $9 \tan^{2} (t)$ come ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

$\frac{3}{4}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} (3 \tan (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.2.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di ${(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{3 {(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 \sec (t)}{4}$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.2.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.2.3.3

$3$ e $\frac{9 \sec^{2} (t)}{16}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 (9 \sec^{2} (t))}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.2.3.4

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\int \frac{1}{\frac{27 \sec^{2} (t)}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.2.3.5

$\frac{27 \sec^{2} (t)}{16}$ e $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}{16}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.2.3.6

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}{16}$ .

$\int 1 \frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.2.3.7

Moltiplica $\frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}$ per $1$ .

$\int \frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Passaggio 2.2.3.8

Moltiplica $\frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}$ per $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4}$ .

$\int \frac{16 (3 \sec (t) \tan (t))}{27 \sec^{2} (t) \tan (t) \cdot 4} d t$

Passaggio 2.2.3.9

Moltiplica $3$ per $16$ .

$\int \frac{48 (\sec (t) \tan (t))}{27 \sec^{2} (t) \tan (t) \cdot 4} d t$

Passaggio 2.2.3.10

Moltiplica $4$ per $27$ .

$\int \frac{48 (\sec (t) \tan (t))}{108 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Passaggio 2.2.3.11

Elimina il fattore comune di $48$ e $108$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.11.1

Scomponi $12$ da $48 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{108 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Passaggio 2.2.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.11.2.1

Scomponi $12$ da $108 \sec^{2} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{12 (9 \sec^{2} (t) \tan (t))} d t$

Passaggio 2.2.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{12 (9 \sec^{2} (t) \tan (t))} d t$

Passaggio 2.2.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{4 \sec (t) \tan (t)}{9 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Passaggio 2.2.3.12

Elimina il fattore comune di $\sec (t)$ e $\sec^{2} (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.12.1

Scomponi $\sec (t)$ da $4 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{9 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Passaggio 2.2.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.12.2.1

Scomponi $\sec (t)$ da $9 \sec^{2} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{\sec (t) (9 \sec (t) \tan (t))} d t$

Passaggio 2.2.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{\sec (t) (9 \sec (t) \tan (t))} d t$

Passaggio 2.2.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{4 \tan (t)}{9 \sec (t) \tan (t)} d t$

Passaggio 2.2.3.13

Elimina il fattore comune di $\tan (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.13.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{4 \tan (t)}{9 \sec (t) \tan (t)} d t$

Passaggio 2.2.3.13.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{4}{9 \sec (t)} d t$

Passaggio 3

Poiché $\frac{4}{9}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{4}{9}$ fuori dall'integrale.

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $\sec (t)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Passaggio 4.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{4}{9} \int 1 \cos (t) d t$

Passaggio 4.3

Moltiplica $\cos (t)$ per $1$ .

$\frac{4}{9} \int \cos (t) d t$

Passaggio 5

L'integrale di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $\sin (t)$ .

$\frac{4}{9} (\sin (t) + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

$\frac{4}{9} \sin (t) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (\frac{4 x}{3})$ .

$\frac{4}{9} \sin (arcsec (\frac{4 x}{3})) + C$

Passaggio 8

Riordina i termini.

$\frac{4}{9} \sin (arcsec (\frac{4}{3} x)) + C$