Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $x^{2} + 3 x - 4$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $3$ .

$- 1, 4$

Passaggio 1.1.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $x$ da $x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x \cdot x^{2} - 4 x^{2} + 4 x}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Scomponi $x$ da $- 4 x^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + 4 x}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Scomponi $x$ da $4 x$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (- 4 x)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.2.5

Scomponi $x$ da $x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 4$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x (x^{2} - 4 x + 4)}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x (x^{2} - 4 x + 2^{2})}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 1.1.1.3.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}$

Passaggio 1.1.1.3.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x - 2}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4) (x {(x - 2)}^{2})}{x {(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 1) (x + 4) (x {(x - 2)}^{2})}{x {(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x - 1) (x + 4) ({(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.5.2

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 1) (x + 4) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.5.2.2

Dividi $(x - 1) (x + 4)$ per $1$ .

$(x - 1) (x + 4) = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.6

Espandi $(x - 1) (x + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x + 4) - 1 (x + 4) = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 4 - 1 (x + 4) = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.7.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 4 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 4 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.7.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x^{2} + 4 x - x - 1 \cdot 4 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$x^{2} + 4 x - x - 4 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.7.2

Sottrai $x$ da $4 x$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 3 x - 4 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8.1.2

Dividi $A ({(x - 2)}^{2})$ per $1$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A ({(x - 2)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8.2

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A ((x - 2) (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8.3

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 3 x - 4 = A (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 3 x - 4 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 3 x - 4 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8.4.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8.4.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8.4.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A (x^{2} - 4 x + 4) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8.5

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} + A (- 4 x) + A \cdot 4 + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.6.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $A$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8.7

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.7.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + \frac{B (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8.7.2

Dividi $(B) (x)$ per $1$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8.8

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ e $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.8.1

Scomponi $x - 2$ da $(C) (x {(x - 2)}^{2})$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{x - 2}$

Passaggio 1.1.8.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.8.2.1

Moltiplica per $1$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{(x - 2) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.8.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{(x - 2) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.8.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{C (x (x - 2))}{1}$

Passaggio 1.1.8.8.2.4

Dividi $C (x (x - 2))$ per $1$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x (x - 2))$

Passaggio 1.1.8.9

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 2)$

Passaggio 1.1.8.10

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 2)$

Passaggio 1.1.8.11

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x^{2} - 2 \cdot x)$

Passaggio 1.1.8.12

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C x^{2} + C (- 2 x)$

Passaggio 1.1.8.13

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

Passaggio 1.1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Sposta $A$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 x A + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

Passaggio 1.1.9.2

Riordina $B$ e $x$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 x A + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

Passaggio 1.1.9.3

Sposta $4 A$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 x A + B x + C x^{2} - 2 C x + 4 A$

Passaggio 1.1.9.4

Sposta $B x$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} - 4 x A + C x^{2} + B x - 2 C x + 4 A$

Passaggio 1.1.9.5

Sposta $- 4 x A$ .

$x^{2} + 3 x - 4 = A x^{2} + C x^{2} - 4 x A + B x - 2 C x + 4 A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + C$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$3 = - 4 A + B - 2 C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 4 = 4 A$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

$- 4 = 4 A$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

$- 4 = 4 A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $- 4 = 4 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $4 A = - 4$ .

$4 A = - 4$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

Passaggio 1.3.1.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = - 4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{- 4}{4}$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

Passaggio 1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 A}{4} = \frac{- 4}{4}$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

Passaggio 1.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{- 4}{4}$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

$A = \frac{- 4}{4}$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

$A = \frac{- 4}{4}$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

Passaggio 1.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.3.1

Dividi $- 4$ per $4$ .

$A = - 1$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

$A = - 1$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

$A = - 1$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

$A = - 1$

$1 = A + C$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = A + C$ con $- 1$ .

$1 = (- 1) + C$

$A = - 1$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$1 = - 1 + C$

$A = - 1$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

$1 = - 1 + C$

$A = - 1$

$3 = - 4 A + B - 2 C$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $3 = - 4 A + B - 2 C$ con $- 1$ .

$3 = - 4 \cdot - 1 + B - 2 C$

$1 = - 1 + C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$3 = 4 + B - 2 C$

$1 = - 1 + C$

$A = - 1$

$3 = 4 + B - 2 C$

$1 = - 1 + C$

$A = - 1$

$3 = 4 + B - 2 C$

$1 = - 1 + C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $C$ in $1 = - 1 + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + C = 1$ .

$- 1 + C = 1$

$3 = 4 + B - 2 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 1 + 1$

$3 = 4 + B - 2 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.3.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$C = 2$

$3 = 4 + B - 2 C$

$A = - 1$

$C = 2$

$3 = 4 + B - 2 C$

$A = - 1$

$C = 2$

$3 = 4 + B - 2 C$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $3 = 4 + B - 2 C$ con $2$ .

$3 = 4 + B - 2 \cdot 2$

$C = 2$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $4 + B - 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$3 = 4 + B - 4$

$C = 2$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Combina i termini opposti in $4 + B - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.2.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$3 = B + 0$

$C = 2$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.4.2.1.2.2

Somma $B$ e $0$ .

$3 = B$

$C = 2$

$A = - 1$

$3 = B$

$C = 2$

$A = - 1$

$3 = B$

$C = 2$

$A = - 1$

$3 = B$

$C = 2$

$A = - 1$

$3 = B$

$C = 2$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.5

Riscrivi l'equazione come $B = 3$ .

$B = 3$

$C = 2$

$A = - 1$

Passaggio 1.3.6

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 3 C = 2 A = - 1$

Passaggio 1.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 3, C = 2, A = - 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x - 2}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{2}{x - 2}$

Passaggio 1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{x} + \frac{3}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 6

Sia $u_{1} = x - 2$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u_{1} = x - 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1

Sposta ${u_{1}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 7.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- 2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{2}{x - 2} d x$

Passaggio 9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- (\ln (| x |) + C) + 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Passaggio 10

Sia $u_{2} = x - 2$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 10.1

Sia $u_{2} = x - 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 10.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 10.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 10.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 10.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 3 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

$- \ln (| x |) - \frac{3}{u_{1}} + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 2$ .

$- \ln (| x |) - \frac{3}{x - 2} + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 2$ .

$- \ln (| x |) - \frac{3}{x - 2} + 2 \ln (| x - 2 |) + C$