Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2} - x + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 9}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - x + 9) {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 9)}^{2}}{x^{2} + 9}$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} + 9)}^{2}$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} - x + 9) {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 9)}^{2}}{x^{2} + 9}$

Passaggio 1.1.4.2

Dividi $x^{2} - x + 9$ per $1$ .

$x^{2} - x + 9 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 9)}^{2}}{x^{2} + 9}$

Passaggio 1.1.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} + 9)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} - x + 9 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 9)}^{2}}{x^{2} + 9}$

Passaggio 1.1.5.1.2

Dividi $A x + B$ per $1$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 9)}^{2}}{x^{2} + 9}$

Passaggio 1.1.5.2

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} + 9)}^{2}$ e $x^{2} + 9$ .

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Passaggio 1.1.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 9$ da $(C x + D) {(x^{2} + 9)}^{2}$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + \frac{(x^{2} + 9) ((C x + D) (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Passaggio 1.1.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.1.5.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + \frac{(x^{2} + 9) ((C x + D) (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 9) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} - x + 9 = A x + B + \frac{(x^{2} + 9) ((C x + D) (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 9) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} - x + 9 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 9)}{1}$

Passaggio 1.1.5.2.2.4

Dividi $(C x + D) (x^{2} + 9)$ per $1$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 9)$

Passaggio 1.1.5.3

Espandi $(C x + D) (x^{2} + 9)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1.5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C x (x^{2} + 9) + D (x^{2} + 9)$

Passaggio 1.1.5.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 9 + D (x^{2} + 9)$

Passaggio 1.1.5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 9 + D x^{2} + D \cdot 9$

Passaggio 1.1.5.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.5.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.5.4.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 9 + D x^{2} + D \cdot 9$

Passaggio 1.1.5.4.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 1.1.5.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 9 + D x^{2} + D \cdot 9$

Passaggio 1.1.5.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 9 + D x^{2} + D \cdot 9$

Passaggio 1.1.5.4.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 9 + D x^{2} + D \cdot 9$

Passaggio 1.1.5.4.2

Sposta $9$ alla sinistra di $C x$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C x^{3} + 9 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 9$

Passaggio 1.1.5.4.3

Sposta $9$ alla sinistra di $D$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + B + C x^{3} + 9 C x + D x^{2} + 9 D$

Passaggio 1.1.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.6.1

Sposta $B$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + C x^{3} + 9 C x + D x^{2} + B + 9 D$

Passaggio 1.1.6.2

Sposta $9 C x$ .

$x^{2} - x + 9 = A x + C x^{3} + D x^{2} + 9 C x + B + 9 D$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta $A x$ .

$x^{2} - x + 9 = C x^{3} + D x^{2} + A x + 9 C x + B + 9 D$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{3}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = D$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = A + 9 C$

Passaggio 1.2.4

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$9 = B + 9 D$

Passaggio 1.2.5

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = C$

$1 = D$

$- 1 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

$0 = C$

$1 = D$

$- 1 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = D$

$- 1 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $0$ in ogni equazione.

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Passaggio 1.3.2.1

Riscrivi l'equazione come $D = 1$ .

$D = 1$

$C = 0$

$- 1 = A + 9 C$

$9 = B + 9 D$

Passaggio 1.3.2.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $- 1 = A + 9 C$ con $0$ .

$- 1 = A + 9 (0)$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Passaggio 1.3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.2.3.1

Semplifica $A + 9 (0)$ .

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Passaggio 1.3.2.3.1.1

Moltiplica $9$ per $0$ .

$- 1 = A + 0$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Passaggio 1.3.2.3.1.2

Somma $A$ e $0$ .

$- 1 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

$- 1 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

$- 1 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

$- 1 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ con $1$ in ogni equazione.

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Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $A = - 1$ .

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9 D$

Passaggio 1.3.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ in $9 = B + 9 D$ con $1$ .

$9 = B + 9 (1)$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

Passaggio 1.3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.3.3.1

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9 = B + 9$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

$9 = B + 9$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4

Risolvi per $B$ in $9 = B + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $B + 9 = 9$ .

$B + 9 = 9$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.3.4.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 9 - 9$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4.2.2

Sottrai $9$ da $9$ .

$B = 0$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

$B = 0$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

$B = 0$

$A = - 1$

$D = 1$

$C = 0$

Passaggio 1.3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 0 A = - 1 D = 1 C = 0$

Passaggio 1.3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 0, A = - 1, D = 1, C = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 9}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{- 1 x + 0}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 9}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.5.1.1

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{- x + 0}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 9}$

Passaggio 1.5.1.2

Somma $- x$ e $0$ .

$\frac{- x}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 9}$

Passaggio 1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 9}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.5.3.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$- \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 9}$

Passaggio 1.5.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$\int - \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 4

Sia $u = x^{2} + 9$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = x^{2} + 9$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$- \int \frac{1}{2 u^{2}} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u) + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 7.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{- 2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} (- u^{- 1} + C) + \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.1

Riordina $x^{2}$ e $9$ .

$- \frac{1}{2} (- u^{- 1} + C) + \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Passaggio 9.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (- u^{- 1} + C) + \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$- \frac{1}{2} (- u^{- 1} + C) + \frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{3}$ e $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$- \frac{1}{2} (- u^{- 1} + C) + \frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + \frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Passaggio 11.3

Semplifica.

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Passaggio 11.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{u} + \frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Passaggio 11.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u} + \frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2 u} + \frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 9)} + \frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$\frac{1}{2 (x^{2} + 9)} + \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} x) + C$