Calcolo Esempi

$\int {(36 - 9 x^{2})}^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{1}{{(36 - 9 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 9 x^{2})}^{3}}} d x$

Passaggio 3

Sia $x = 2 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 2 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 9 {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.1

Semplifica $\sqrt{{(36 - 9 {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Passaggio 4.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 9 (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 9 (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.1.3

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 - 36 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $36$ da $36$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 (1) - 36 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $36$ da $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $36$ da $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(36 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.6

Applica la regola del prodotto a $36 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{36^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.7

Eleva $36$ alla potenza di $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{46656 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.8

Moltiplica gli esponenti in ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Passaggio 4.1.8.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{46656 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.8.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{46656 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.9

Riscrivi $46656 \cos^{6} (t)$ come ${(216 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(216 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.10

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{216 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $2 \cos (t)$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $2 \cos (t)$ da $216 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \cos (t) (108 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) (108 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{108 \cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{108}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{108}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{108} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 6

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ a $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{108} \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 7

Poiché la derivata di $\tan (t)$ è $\sec^{2} (t)$ , l'integrale di $\sec^{2} (t)$ è $\tan (t)$ .

$\frac{1}{108} (\tan (t) + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$\frac{1}{108} \tan (t) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{108} \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

Passaggio 10

Riordina i termini.

$\frac{1}{108} \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$