Calcolo Esempi

$\int \sqrt{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 2 x^{3}$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2}} d x$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica per $1$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

Passaggio 1.1.5

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} d x$

Passaggio 1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2})} d x$

Passaggio 1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})} d x$

Passaggio 1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} {(x - 1)}^{2}} d x$

Passaggio 1.3

Riscrivi $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ come ${(x (x - 1))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(x (x - 1))}^{2}} d x$

Passaggio 1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int x (x - 1) d x$

Passaggio 1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\int x \cdot x + x \cdot - 1 d x$

Passaggio 1.6

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 d x$

Passaggio 1.7

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot x d x$

Passaggio 1.8

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\int x^{2} - x d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{2} d x + \int - x d x$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - x d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C$