Calcolo Esempi

$\int \frac{8}{y^{3} - 4 y} d y$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $y$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int \frac{1}{y^{3} - 4 y} d y$

Passaggio 2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $y$ da $y^{3} - 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Scomponi $y$ da $y^{3}$ .

$\frac{1}{y \cdot y^{2} - 4 y}$

Passaggio 2.1.1.1.2

Scomponi $y$ da $- 4 y$ .

$\frac{1}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 4}$

Passaggio 2.1.1.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot y^{2} + y \cdot - 4$ .

$\frac{1}{y (y^{2} - 4)}$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{y (y^{2} - 2^{2})}$

Passaggio 2.1.1.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 2$ .

$\frac{1}{y ((y + 2) (y - 2))}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{1}{y (y + 2) (y - 2)}$

Passaggio 2.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2}$

Passaggio 2.1.3

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 2}$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $y (y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{1 (y (y + 2) (y - 2))}{y (y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (y (y + 2) (y - 2))}{y (y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 ((y + 2) (y - 2))}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.6

Elimina il fattore comune di $y + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 ((y + 2) (y - 2))}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (y - 2)}{y - 2} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.7

Elimina il fattore comune di $y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (y - 2)}{y - 2} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.1.2

Dividi $A ((y + 2) (y - 2))$ per $1$ .

$1 = A ((y + 2) (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.2

Espandi $(y + 2) (y - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (y (y - 2) + 2 (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.3

Combina i termini opposti in $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.3.1

Riordina i fattori nei termini di $y \cdot - 2$ e $2 y$ .

$1 = A (y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.3.2

Somma $- 2 y$ e $2 y$ .

$1 = A (y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.3.3

Somma $y \cdot y$ e $0$ .

$1 = A (y \cdot y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.4.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$1 = A (y^{2} + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$1 = A (y^{2} - 4) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.5

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A y^{2} + A \cdot - 4 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.6

Sposta $- 4$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A y^{2} - 4 \cdot A + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.7

Elimina il fattore comune di $y + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.7.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A y^{2} - 4 A + \frac{B (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.7.2

Dividi $(B) (y (y - 2))$ per $1$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + (B) (y (y - 2)) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.8

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y \cdot y + y \cdot - 2) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.9

Moltiplica $y$ per $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y^{2} + y \cdot - 2) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.10

Sposta $- 2$ alla sinistra di $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y^{2} - 2 \cdot y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.11

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} + B (- 2 y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.12

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.13

Elimina il fattore comune di $y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.13.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + \frac{C (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Passaggio 2.1.8.13.2

Dividi $(C) (y (y + 2))$ per $1$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + (C) (y (y + 2))$

Passaggio 2.1.8.14

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y \cdot y + y \cdot 2)$

Passaggio 2.1.8.15

Moltiplica $y$ per $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y^{2} + y \cdot 2)$

Passaggio 2.1.8.16

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y^{2} + 2 \cdot y)$

Passaggio 2.1.8.17

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C y^{2} + C (2 y)$

Passaggio 2.1.8.18

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C y^{2} + 2 C y$

Passaggio 2.1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1

Sposta $B$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 y B + C y^{2} + 2 C y$

Passaggio 2.1.9.2

Sposta $- 4 A$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} - 2 y B + C y^{2} + 2 C y - 4 A$

Passaggio 2.1.9.3

Sposta $- 2 y B$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} + C y^{2} - 2 y B + 2 C y - 4 A$

Passaggio 2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B + C$

Passaggio 2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 2.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $y$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 4 A$

Passaggio 2.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 4 A$

Passaggio 2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = - 4 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 A = 1$ .

$- 4 A = 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 2.3.1.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 A = 1$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 2.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 2.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 2.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- \frac{1}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B + C$ con $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 2.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - \frac{1}{4} + B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{4} + B + C = 0$ .

$- \frac{1}{4} + B + C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Somma $\frac{1}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B + C = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 2.3.3.2.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Passaggio 2.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{1}{4} - C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = - 2 B + 2 C$ con $\frac{1}{4} - C$ .

$0 = - 2 (\frac{1}{4} - C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Semplifica $- 2 (\frac{1}{4} - C) + 2 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = - 2 (\frac{1}{4}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$0 = 2 (- 1) (\frac{1}{4}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.4.2.1.1.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$0 = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.4.2.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$0 = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.4.2.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.4.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.4.2.1.1.4

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.4.2.1.2

Somma $2 C$ e $2 C$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.5

Risolvi per $C$ in $0 = - \frac{1}{2} + 4 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{2} + 4 C = 0$ .

$- \frac{1}{2} + 4 C = 0$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.5.2

Somma $\frac{1}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 C = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.5.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 C = \frac{1}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 C = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 C}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.5.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$C = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.5.3.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$C = \frac{1}{2 \cdot 4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.5.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $\frac{1}{8}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $B = \frac{1}{4} - C$ con $\frac{1}{8}$ .

$B = \frac{1}{4} - (\frac{1}{8})$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

Semplifica $\frac{1}{4} - (\frac{1}{8})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1.1

Per scrivere $\frac{1}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.6.2.1.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.6.2.1.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$B = \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.6.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$B = \frac{2 - 1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.6.2.1.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{1}{8}, C = \frac{1}{8}, A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 2}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{\frac{1}{4}}{y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{y \cdot 4} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Passaggio 2.5.3

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$- \frac{1}{4 y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Passaggio 2.5.5

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{1}{y + 2}$ .

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Passaggio 2.5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y - 2}$

Passaggio 2.5.7

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{1}{y - 2}$ .

$8 \int - \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{1}{8 (y - 2)} d y$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$8 (\int - \frac{1}{4 y} d y + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$8 (- \int \frac{1}{4 y} d y + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$8 (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{y} d y) + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{y + 2} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Passaggio 8

Sia $u_{1} = y + 2$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{1} = y + 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{y - 2} d y)$

Passaggio 11

Sia $u_{2} = y - 2$ . Allora $d u_{2} = d y$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u_{2} = y - 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Passaggio 11.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Passaggio 11.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 11.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y + 2$ .

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y - 2$ .

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

$\ln (| y |)$ e $\frac{1}{4}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Passaggio 15.1.2

$\frac{1}{8}$ e $\ln (| y + 2 |)$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |)}{8} + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Passaggio 15.1.3

$\frac{1}{8}$ e $\ln (| y - 2 |)$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |)}{8} + \frac{\ln (| y - 2 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 2 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.3

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 | | y - 2 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.4

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| (y + 2) (y - 2) |)}{8}) + C$

Passaggio 15.5

Espandi $(y + 2) (y - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y (y - 2) + 2 (y - 2) |)}{8}) + C$

Passaggio 15.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) |)}{8}) + C$

Passaggio 15.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.6

Combina i termini opposti in $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.1

Riordina i fattori nei termini di $y \cdot - 2$ e $2 y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.6.2

Somma $- 2 y$ e $2 y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.6.3

Somma $y \cdot y$ e $0$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.7.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.7.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.9

Per scrivere $- \frac{\ln (| y |)}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.10

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.10.1

Moltiplica $\frac{\ln (| y |)}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.10.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |) \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Passaggio 15.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 \frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |)}{8} + C$

Passaggio 15.12

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.12.1

Elimina il fattore comune.

$8 \frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |)}{8} + C$

Passaggio 15.12.2

Riscrivi l'espressione.

$- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |) + C$

Passaggio 15.13

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \ln (| y |) + \ln (| y^{2} - 4 |) + C$