Calcolo Esempi

$9800 \int_{- 5}^{0} (- y) (2 \sqrt{25 - y^{2}}) d y$

Passaggio 1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$9800 \int_{- 5}^{0} - 2 y \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Passaggio 2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$9800 (- 2 \int_{- 5}^{0} y \sqrt{25 - y^{2}} d y)$

Passaggio 3

Moltiplica $- 2$ per $9800$ .

$- 19600 \int_{- 5}^{0} y \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Passaggio 4

Sia $u = 25 - y^{2}$ . Allora $d u = - 2 y d y$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = 25 - y^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $25 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [25 - y^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $25 - y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [25] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [25] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $25$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $25$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 y)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 y$

Passaggio 4.1.4

Sottrai $2 y$ da $0$ .

$- 2 y$

Passaggio 4.2

Sostituisci $y$ con il limite inferiore in $u = 25 - y^{2}$ .

$u_{lower} = 25 - {(- 5)}^{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$u_{lower} = 25 - 1 \cdot 25$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$u_{lower} = 25 - 25$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $25$ da $25$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $y$ con il limite superiore in $u = 25 - y^{2}$ .

$u_{upper} = 25 - 0^{2}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{upper} = 25 - 0$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{upper} = 25 + 0$

Passaggio 4.5.2

Somma $25$ e $0$ .

$u_{upper} = 25$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 25$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$- 19600 \int_{0}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 19600 \int_{0}^{25} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 5.2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 19600 \int_{0}^{25} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- 19600 (- \int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Passaggio 7

Moltiplica $- 1$ per $- 19600$ .

$19600 \int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$19600 (\frac{1}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u)$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

$\frac{1}{2}$ e $19600$ .

$\frac{19600}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Passaggio 9.1.2

Elimina il fattore comune di $19600$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Scomponi $2$ da $19600$ .

$\frac{2 \cdot 9800}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Passaggio 9.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 9800}{2 (1)} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Passaggio 9.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 9800}{2 \cdot 1} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Passaggio 9.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9800}{1} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Passaggio 9.1.2.2.4

Dividi $9800$ per $1$ .

$9800 \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Passaggio 9.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$9800 \int_{0}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$9800 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{25})$

Passaggio 11

$\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$9800 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{25})$

Passaggio 12

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Calcola $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $25$ e per $0$ .

$9800 ((\frac{2 \cdot 25^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 12.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$9800 (\frac{2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 12.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 12.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 12.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 12.2.4

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$9800 (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 12.2.5

Moltiplica $2$ per $125$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 12.2.6

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 12.2.7

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Passaggio 12.2.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Passaggio 12.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Passaggio 12.2.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Passaggio 12.2.10

Moltiplica $2$ per $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{0}{3})$

Passaggio 12.2.11

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.11.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Passaggio 12.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.11.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 12.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 12.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{0}{1})$

Passaggio 12.2.11.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$9800 (\frac{250}{3} - 0)$

Passaggio 12.2.12

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} + 0)$

Passaggio 12.2.13

Somma $\frac{250}{3}$ e $0$ .

$9800 (\frac{250}{3})$

Passaggio 12.2.14

$9800$ e $\frac{250}{3}$ .

$\frac{9800 \cdot 250}{3}$

Passaggio 12.2.15

Moltiplica $9800$ per $250$ .

$\frac{2450000}{3}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2450000}{3}$

Forma decimale:

$816666.\overline{6}$

Forma numero misto:

$816666 \frac{2}{3}$

Passaggio 14